17.5 一元二次方程的应用-【教材解读】2024春八年级下册数学（沪科版)

１７．５　一元二次方程的应用 知识点一　用一元二次方程解决实际 问题的一般步骤 【例１】(四川巴中中考)随着国家“惠民政策”的陆续 出台,为了切实让老百姓得到实惠,国家卫计委通 过严打药品销售环节中的不正当行为,某种药品原 价２００ 元/瓶,经 过 连 续 两 次 降 价 后,现 在 仅 卖 ９８元/瓶,现假定两次降价的百分率相同,求该种 药品平均每次降价的百分率． 解:设该种药品平均每次降价的百分率是x． 由题意,得２００(１－x)２＝９８, 解得x１＝１．７(不合题意,舍去),x２＝０．３＝３０％． 答:该种药品平均每次降价的百分率是３０％． 列方程解决实际问题的四点注意 (１)注意挖掘题目中隐含的等量关系． (２)注意厘清数量关系,根据等量关系准确列出方程． (３)注意列方程时各量之间的单位要统一． (４)注意要对求出的结果进行检验,看其是否为原问 题的解以及是否符合题意． 　 “审”“验”不写,但很重要 列方程解应用题的一般步 骤为审、设、列、解、验、答． 第１步“审”一般不写出来, 但它是最重要的一步,只有 审清题意,明确已知量、未 知量及它们之间的关系,才 能准确地列出方程． 第５步“验”一般只写出验 根后的结果即可,过程不必 详述,但此步骤必不可少, 一定要充分利用题目中的 条件把不合题意的根舍去． ３６ 解分式方程应用题时,不仅 要检验所得根是否为增根, 还要考虑它是否符合题意． 知识点二　可化为一元二次方程的分式方程的应用 　在列方程解应用题时,列出的方程可能是分式方程,对 此,我们可利用前面学过的化分式方程为整式方程的 方法将分式方程变为一元二次方程,这样我们就可通 过解一元二次方程而得到原分式方程的根． 【例２】某校为了进一步开展“阳光体育”活动,购买了一 批乒乓球拍和羽毛球拍．已知一副羽毛球拍比一副乒 乓球拍贵２０元,购买乒乓球拍共花费２０００元,购买羽 毛球拍的费用比购买乒乓球拍的费用要多,多出的部 分能购买２５副乒乓球拍． (１)若每副乒乓球拍的价格为x 元,请你用含x 的代数 式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用; (２)若购买的两种球拍数量一样,求x． 解:(１)若每副乒乓球拍的价格为x 元,则该校购买这批 乒乓球拍和羽毛球拍的总费用为(４０００＋２５x)元． (２) ２０００ x ＝ ２０００＋２５x x＋２０ ,解得x１＝４０,x２＝－４０． 经检验x１＝４０,x２＝－４０都是原方程的根,但x２＝ －４０不合题意,故舍去,所以x＝４０． １．某单位准备将院内一块 长为４５m、宽为３０m 的 矩形空地建成一个矩形 花园,要求在花园中修两 条纵向平行和一条横向 弯折的小道,剩余的地方 种植 花 草,如 图 １７．５Ｇ２ 所示(示意图)．要使种植 花草的面积为１１９７m２, 题型一　解决几何问题 　　图１７．５Ｇ１ 【例１】如图１７．５Ｇ１,要利用一面墙(墙 长为２５m)建羊圈,用１００m 的围栏 围成总面积为４００m２ 的三个大小相 同的矩形羊圈,求:羊圈的边长AB, BC 各为多少米? 审题关键:解决此类问题的关键是把实际问题抽象成 几何问题,并根据条件列方程计算,注意检验解出的 结果是否符合实际． ４６ 破题思路:由题意,知矩形ABCD 的面积一定,围栏 恰好由４个AB 和１个BC 组成,故设AB 为x m, 则BC 为(１００－４x)m,根据矩形面积公式,列方程 求解． 解:设AB 为x m,则BC 为(１００－４x)m． 依据题意,得x(１００－４x)＝４００． 解这个方程,得x１＝５,x２＝２０． 当AB＝５m 时,BC＝１００－４x＝８０(m)． 因为８０＞２５,所以x＝５不合题意,舍去． 当AB＝２０m 时,BC＝１００－４x＝２０(m)． 因为２０＜２５,所以x＝２０符合题意． 答:羊圈的边长AB,BC 分别为２０m,２０m． " 列方程解决实际问题“必备三环节” (１)整体、系统地分析题意; (２)把握题目中的等量关系,列方程; (３)正确求解方程并检验解的合理性． 题型二　解决增长(降低)率问题 【例２】某种商品经过两次连续降价,每件售价由原来的 ９０元降到了４０元,则平均每次降价率约是多少? 审题关键:解决此类问题有两个关键点:一是增长(降 低)率是不变的,每次都一样;二是要注意增长(降 低)次数,每次的增长(降低)基数是不同的,每一次 的增长(降低)量也不同． 破题思路:设每次的降价率为x,第１次降价后价格 为９０(１－x),第２次降价后的价格为９０(１－x)􀅰 (１－x),故可列方程求解． 解:设平均每次降价率为x,则根据题意列方程,得 ９０(１－x)２＝４０, 解得x１＝ １ ３≈０．３３３３ ,x２＝ ５ ３≈１．６６６７ (舍去)． 　答:平