17.4 一元二次方程的根与系数的关系-【教材解读】2024春八年级下册数学（沪科版)

１７．４　一元二次方程的根与系数的关系 在实数范围内运用根与系 数的关系时,必须注意两个 条件: (１)方程必须是一元二次方 程,即二次项系数不为０; (２)方程有实数根,即Δ≥０． 　　  运用根与系数的关系时,经 常 用 到 以 下 代 数 式 及 其 变形: (１)x２１＋x２２＝(x１＋x２)２－ ２x１x２; (２) １ x１ ＋ １ x２ ＝ x１＋x２ x１x２ ; 知识点　一元二次方程的根与系数的关系 一般形式的一元二次方程的根与系数的关系 如果ax２＋bx＋c＝０(a≠０)的两个根为x１,x２,那么 x１＋x２＝－ b a ,x１x２＝ c a． 这个关系通常称为韦达定理． 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　注意:(１)利用根与系数的关系,不解方程也可直接 求一元二次方程的两根之和与两根之积; (２)利用这个关系前,应把一元二次方程化为一般 形式． 二次项系数为１的一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程x２＋px＋q＝０的两个根为x１,x２,则 有x１＋x２＝－p,x１x２＝q． 【例１】若x１,x２ 是方程２x(x＋２)＝３的两个根,则x１＋ x２＝ ,x１x２＝ ． 解析:把原方程化为一般形式为２x２＋４x－３＝０．根据韦 达定理,得x１＋x２＝－ ４ ２＝－２ ,x１x２＝－ ３ ２． 答案:－２　－ ３ ２ 不解方程,求一元二次方程两根之和与两根之积的步骤 第１步:化———把一元二次方程化为一般形式; 第２步:求———求出Δ的值,判断方程是否有实数根; 第３步:解———在 Δ ≥０的前提下,利用根与系数的 关系求解． 【例２】若关于x 的一元二次方程的两个根为x１＝１, x２＝２,则这个方程可以是 (　　) ６５ A．x２＋３x－２＝０　　　　　B．x２－３x＋２＝０ C．x２－２x＋３＝０ D．x２＋３x＋２＝０ 解析:观察四个选项,可设一元二次方程为x２＋px＋ q＝０． 因为x１＋x２＝３,x１x２＝２,所以p＝－３,q＝２． 所以这个方程可以为x２－３x＋２＝０．故选B． 答案:B 由方程的根确定二次项系数为１的一元二次方 程的步骤 第１步:根据根与系数的关系确定一次项的系数和常 数项; 第２步:直接写出一元二次方程． 　 (３)(x１ ＋a)(x２ ＋a)＝ x１x２＋a(x１＋x２)＋a２; (４)|x１－x２|＝ (x１－x２)２＝ (x１＋x２)２－４x１x２ ．  以m,n 为两根的一元二次 方程(二 次 项 系 数 为１)为 x２－(m＋n)x＋mn＝０． 题型一　一元二次方程根与系数的关系的应用 已知一根,求另一根和字母系数的值 【例１】已知关于x 的方程４x２＋kx－１＝０,若方程的一 个根是－１,求另一个根及k的值． 审题关键:解决此类问题最简捷的方法是根据根与系 数的关系列出关于另一根和未知系数的二元一次 方程组． 破题思路:思路１:直接利用一元二次方程根的概念求 未知系数,再解方程求另一根．思路２:设另一个根 为x１,根据一元二次方程根与系数的关系,得－１＋ x１＝－ k ４ ,－１􀅰x１＝－ １ ４ ,将它们联立解答即可． 解:方法１:因为方程４x２＋kx－１＝０的一个根是 －１, 所以４×(－１)２＋k×(－１)－１＝３－k＝０,所以 k＝３． 　 １．若 关 于 x 的 方 程x２ ＋ (m＋１)􀅰x＋m－２＝０ 的两个实数根互为相反 数,则m 的值为 (　　) A．１　　　　B．－１ C．２ D．－２ ７５ ２．已知关于x 的方程x２＋ x＋n＝０有两个实数根 －２,m,求m,n的值． ３．已知 m,n 是方程x２ － x－１＝０的两个实数根, 则 １ m＋ １ n 的值为 (　　) A．－１　　　B．－ １ ２ C． １ ２ D．１ 所以方程为４x２＋３x－１＝０,解得方程的另一个根 为 １ ４． 方法２:设另一个根为x１, 则 －１＋x１＝－ k ４ , －１􀅰x１＝－ １ ４ , ì î í ï ï ï ï ïï 解得 x１＝ １ ４ , k＝３． ì î í ï ï ï ï 所以方程的另一个根为 １ ４ ,k的值为３． " 已知一根求另一根及字母系数不妨“两路走” 思路１:把已