16.1 二次根式-【教材解读】2024春八年级下册数学（沪科版)

第１６章　二次根式 １６．１　二次根式 知识点一　二次根式的概念 二次根号、被开方数 二次根号← a→被开方数 二次根式必须同时满足的两个条件 (１)含有二次根号“ 　”;(２)被开方数为非负数． 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　注意:(１)二次根式一定含有“ 　 ”,如 ４＝２,其中 ４是二次根式,２不是二次根式; (２)要判断一个式子是否为二次根式,除看是否含 有“ 　 ”外,还 要 看 被 开 方 数 是 否 为 非 负 数,如 x２＋１一定是二次根式,而 x２－１不一定是二次 根式． 【例１】下列各式:４,３a,２ b２－１,a２＋b,m２＋２０, －１４４,３２中,一定是二次根式的个数是 (　　) A．４　　　　　　　　　　　　　B．３ C．２ D．１ 解析:根据二次根式的概念,４,m２＋２０一定是二次根 式,因为它们都含有二次根号,且被开方数是非负数; ３２含 有 三 次 根 号,不 是 二 次 根 式;３a,２b２－１, a２＋b中虽然含有二次根号,但被开方数３a,b２－１, a２＋b可能为负数,所以不一定是二次根式; －１４４ 的被开方数－１４４是负数,一定不是二次根式． 答案:C 　 (１)被开方数a 可以是数, 也可以是代数式,但被开方 数一定要是非负数． (２)判断被开方数是否为非负 数时,有时需运用配方法对被 开 方 数 进 行 变 形,如 x２－４x＋６＝ (x－２)２＋２, 所以是二次根式．  形如b a(a≥０)的式子也 是二次根式,ba表示b 与 a的 乘 积,要 注 意b 是 假 分数时,不能写成带分数的 形 式,如 ５ ３ ２ 不 能 写 成 １ ２ ３ ２． １ 当含有二次根式的式子是 分式时,既要求被开方数是 非负数,也要求分式的分母 不能等于０． (１)性 质 １ 成 立 的 条 件 是 a≥０,而性质 ２中a 可 以 为任何实数． (２)这两个性质反过来也成 立,即a≥０时,a＝(a)２, 可以把一个非负数写成平 方的形式;|a|＝ a２ ,可以 把一个任意实数平方后,从 根号外面移到根号里面来． 判断二次根式,厘清“是”“否”是关键 知识点二　二次根式有意义的条件 　求二次根式有意义的条件的一般步骤 第１步:根据二次根式的概念(被开方数是非负数)列 不等式(组); 第２步:解这个不等式(组)得到字母的取值范围． 【例２】(湖北荆门中考)要使式子 x－１ ２ 有意义,则x 的 取值范围是 (　　) A．x＞１　　B．x＞－１　　C．x≥１　　D．x≥－１ 解析:根据二次根式的概念,有x－１≥０,解得x≥１． 答案:C 确定二次根式中字母取值的方法 (１)若二次根式在实数范围内有意义,则被开方数大 于或等于０,列出不等式(组)求解;若二次根式在实数 范围内无意义,则被开方数小于０,列出不等式(组) 求解． (２)若一个式子的分母是二次根式,则必须满足分母 中的被开方数大于０这个条件,从而列不等式(组) 求解． 知识点三　二次根式的性质 ２ 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　辨析: (a)２(a≥０)与 a２的异同 (a)２(a≥０) a２ 不 同 点 意义 非