第四章 2 提公因式法-【教材解读】2024春八年级下册数学（北师大版)

数学　八年级　下册 １３８　 ２　提公因式法 􀅰理解提公因式法的意义,能确定多项式的公因式． 􀅰能用提公因式法把多项式进行因式分解(多项式中的字母系数仅限于正整 数),理解添括号的方法． (１)公 因 式 可 以 是 数 字, 可以 是 字 母,也 可 以 是 多 项 式,还 可 以 是 多 项 式 的 幂 的 形式． (２)注意多项式的各项都 含有的相同因式才是该多项 式的公因式．只在某个或某些 项中含有而其他项中没有的 因式,不 能 成 为 公 因 式 的 一 部分． (３)若多项式第一项的符 号是“－”,则公因式的符号一 般为负． １．写出下列多项式各项的公 因式: (１)２x２＋６x３; (２)－２４m２x３＋１６n２x２; (３)５(a－b)３＋１０(a－b)． 知识点一　公因式 １．概念:多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项 式各项的公因式． ２．确定公因式的方法 要确定一个多项式的公因式,需对系数和字母及字母 的指数分别考虑,它们的积即为公因式． (１)定系数———各项系数绝对值的最大公因数; (２)定字母———各项都含有的字母; (３)定指数———相同字母的指数取次数最低的． 题型　确定公因式 【例１】(１)多项式６x３y２－３x２y２－１８x２yz的公因式为 　　　　; (２)多项式－４a２b３(m－３)３＋２ab６(m－３)２ 的公因 式为　　　　　　． 思路分析(１)该 多 项 式 含 有 三 项:６x３y２,－３x２y２, －１８x２yz,这三项系数的最大公因数是３,所有项相 同的字母为x,y,它们的最低次数分别为２,１,所以 该多项式的公因式为３x２y． (２)若把 m－３看成一个整体,则该多项式含有两项 －４a２b３(m－３)３,２ab６(m－３)２．这两项系数的最大 公因数是２;所有项相同的字母为a,b,它们的最低次 数分别为１,３;都含有的多项式为m－３,它的最低次 第四章　因式分解 １３９　 数为２．又因为该多项式第一项的系数为负数,所以该 多项式的公因式为－２ab３(m－３)２． 答案 (１)３x２y　(２)－２ab３(m－３)２ 知识点二　提公因式法 １．提公因式法:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就 可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式 乘积的形式．这种因式分解的方法叫做提公因式法． ２．提公因式法的依据:提公因式法的依据是乘法分配 律,它的实质是单项式乘多项式时乘法分配律的“逆 用”,即m(a＋b＋c) 乘法分配律 提公因式法􀜡 􀜠􀜓􀜓􀜓􀜓 ma＋mb＋mc． ３．提公因式法的步骤:第１步,找出公因式;第２步,提 公因式并确定另一个因式．提公因式时可用原多项式 除以公因式,所得的商即是提公因式后剩余的另一个 因式,从而将原多项式写成公因式与这个因式的积的 形式． 题型一　公因式是单项式的因式分解 【例２】因式分解: (１)(浙江台州中考)xy－y２; (２)(湖南株洲中考)６x２－４xy; (３)６a２b３＋１０ab２c－４ab３; (４)－２a３b２＋６a２b－２ab． 思路分析 (１)中多项式含公因式y;(２)中多项式含公 因式２x;(３)中有公因式２ab２;(４)中有公因式２ab, 注意首项含负号,负号应该提取出来． 解 (１)原式＝x􀅰y－y􀅰y＝y(x－y)． (２)原式＝２x􀅰３x－２x􀅰２y＝２x(３x－２y)． (３)原 式 ＝２ab２ 􀅰３ab＋２ab２ 􀅰５c－２ab２ 􀅰２b＝ ２ab２(３ab＋５c－２b)． (４)原 式 ＝ －２ab􀅰a２b＋ (－２ab)􀅰 (－３a)＋ (－２ab)􀅰１＝－２ab(a２b－３a＋１)． 题型二　公因式是多项式的因式分解 【例３】把下列各式分解因式: (１)１０b２(a－３)－５b(３－a)２; (１)公 因 式 的 提 取 要 彻 底,当一个多项式提出公因式 后,剩下的一个因式中不能再 含有公因式． (２)当多项式的某一项恰 好是公因式时,该项提取公因 式后剩下的应是１． (３)当多项式第一项的系 数为 负 数 时,通 常 先 提 出 负 号,使括号内第一项的系数成 为正数．当 提 出 负 号 时,多 项 式的各项都要变号． 教材第９５页例１(１)(２) 例２(１)(２)中的两个中考 真题与教材例１(１)(２)都是考 查运用提公因式法对二项式 进行因式分解,这类题目的公 因式比较容易确定,公因式确 定后直接提取公因式即可完 成因式分解． ２．把下列各式因式分解: (１)(吉林中考改编)m２－２m; (２)－a２b３c＋２ab２c３－ab２c． 数学　八年级　下册 １４０　 多项式中的公因式,有些 比较简单,有些则比较复杂, 需要进一步变形才能发现公 因式,但 不