第1章 解直角三角形（知识清单+典型例题）-【满分全攻略】2023-2024学年九年级数学同步讲义全优学案（浙教版）

第1章 解直角三角形（知识清单+典型例题） 【知识导图】 【知识清单】 一、锐角三角函数 在中，，则的三角函数为 定 义 表达式 取值范围 关 系 正弦 (∠A为锐角) 余弦 (∠A为锐角) 正切 (∠A为锐角) 【例1】（2023·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，在中，，M是直角边上一点，于点N，，，求的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023·山东东营·九年级校考期中）如图，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（2023·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考期中）抛物线的图象与x轴交于点A、点B，顶点为C，则的值是（    ） A．3 B． C．1 D． 二、特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 1 【例2】（2023·浙江宁波·九年级校考期中）2cos60°的值等于（   ） A． B． C．2 D．1 【变式1】（2023下·浙江杭州·九年级校考阶段练习）（1）计算：． （2）因式分解：． 【变式2】（2023·四川·九年级专题练习）计算：． 三、直角三角形的边角关系 两锐角关系： （2）三边关系：（勾股定理） （3）边角关系：， ， 【例3】（2023·河南信阳·校考三模）学习完《直角三角形的边角关系》后，数学老师布置了一项利用三角函数测宽的数学实践活动．居住在贾鲁河南岸的小宇选择了测量某段贾鲁河的河宽、如图，在小组同学的共同努力下，他们在河的南岸点处观测到北岸岸边的一棵大树在北偏东方向上，他们沿着北偏东的方向走了30米到达岸边点处，此时他们发现这棵大树在自己的正北方向上．请你帮助小宇组的同学求出这段贾鲁河的河宽．（结果精确到．参考数据：，，    四、解直角三角形的类型和解法 已知条件 图形 解法 已知一直角边和一个锐角 对边 邻边 斜边 A C B b 已知斜边和一个锐角 已知两直角边 已知斜边和一条直角边 【例4】（2023·广东云浮·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数在第一象限内的图象交于点C，轴， ，． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点E是反比例函数在第三象限内图象上的点，过点E作y轴，垂足为点F，连接，如果，求点E的坐标． 【变式1】（2023·陕西西安·九年级校考阶段练习）问题提出 （1）如图①，中，，，，则的面积为　　　　． 问题探究 （2）如图②，在四边形中，，，且，求证：． 问题解决 （3）市规划办计划将一块空地改造成一个四边形的休闲广场，并在广场中种植三种花卉，四边形的休闲广场如图③，已知：，，，E为上的一个观赏台，且，米，的长度不超过50米，不小于20米，其中、和分别种植三种花卉的价格分别为每平方米30元、20元、40元，为观赏通道，种植花卉的费用是否存在最小值，如果存在，请求出最小费用，如果不存在，请说明理由．（参考数据：，，结果精确到1元） 【变式2】（2023·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，已知中，，，，，为边上的中线．求的值．    【变式3】（2023·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交x轴于A，B两点，交y轴于点C．其中B点坐标．    (1)求抛物线的表达式； (2)点F是直线上方抛物线上的一动点，过点F作，交于点D，过点F作y轴的平行线交直线于点E，过点D作，交于点G，求的最大值及此时点F的坐标； (3)在（2）问中取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点A、F、M、N为顶点的四边形是以为边长的菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的一种情况的过程． 【变式4】（2023·安徽亳州·九年级校联考阶段练习）如图，在正方形中，E，F分别为边上的中点，和相交于点P． (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 【变式5】（2023·湖北武汉·九年级统考期中）如图，是的直径，弦于点，点为弧的中点，连接交于，连接．    (1)求证：； (2)若，，直接写出的长． 核心素养提升 1. 推理能力-通过逻辑推理，化未知为已知 1．（2023·上海金山·九年级校考期中）在中，，，，点D是斜边上一点，过点A作，垂足为点E，交直线于点F． (1)当时，求线段的长； (2)当点F在边上时，设，，求y关于x的函数解析式，及其定义域； (3)当时，求线段的长． 2．（2023