2.5 三元一次方程组及其解法-【教材解读】2024春七年级下册数学（浙教版)

２．５　三元一次方程组及其解法(选学) 'F 不要误认为三元一次方程 组中每个方程必须是三元 一次 方 程,只 要 方 程 组 中 共有 三 个 未 知 数 即 可,例 如, ２x＝３, ３y＝１, z＝－１ ì î í ï ï ïï 就是一个三元 一次方程组． 知识点一　三元一次方程及三元一次 方程组的概念 三元一次方程:含有三个未知数,且含有未知数的项 的次数都是一次的方程． 三元一次方程组必须同时具备的三个条件 三元一次 方程组 方程组中有且只有三个未知数 含有未知数的项的次数都是一次 方程组中有三个整式方程 ì î í ï ï ï ï ü þ ý ï ï ï ï → 三者缺 一不可 三元一次方程组的解:同时满足三元一次方程组中各 个方程的解． 【例１】下列方程组中,不是三元一次方程组的是 (　　) A． x＋y＝１, ２y＋z＝－２, ３y＝６ ì î í ï ï ï ï 　　　　B． x２－４＝０, y＋１＝x, xy－z＝－３ ì î í ï ï ï ï C． x＝２, ２y＝－３, x－z＝１ ì î í ï ï ï ï D． y－x＝－１, x＋z＝３, ２y－z＝０ ì î í ï ï ï ï 解析:由三元一次方程组的概念,知 A 项、C项、D项都是 三元一次方程组．B项,x２－４＝０中未知数x 的次数为 ２,xy－z＝－３中xy 项的次数为２,所以该方程组不 是三元一次方程组． 答案:B 知识点二　三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思路 三元一次 方程组 　消元　 → 二元一次 方程组 　消元　 → 一元一次 方程 ４７ 解三元一次方程组的一般步骤 步骤 　　 【例２】解方程组: ３x＋３y＋４z＝８, ２x＋３y＋z＝９, ５x－９y＋７z＝８． ì î í ï ï ï ï ① ② ③ 消元:利用代入 法或加减法,把 方程组中的一个 方程与另外两个 方程分别组成方 程组,消去两个 方程组中同一个 未知数,得到关 于另外两个未知 数的二元一次方 程组 → ①－②,得x＋３z＝－１, ④ ②×３＋③,得１１x＋１０z＝３５,⑤ ④与⑤组成方程组 x＋３z＝－１, １１x＋１０z＝３５．{ ↓ 求解:解这个二 元一次方程组, 求出两个未知数 的值 →解得 x＝５, z＝－２．{ ↓ 回代:将求得的 这两个未知数的 值代入三元一次 方程组中系数较 简单的方程中, 并求出第三个未 知数的值 → 把x＝５,z＝－２代入②, 得y＝ １ ３． ↓ 写解:写出方程 组的解并用“{” 联立 → 所以原方程组的解是 x＝５, y＝ １ ３ , z＝－２． ì î í ï ï ï ï ïï 'F 解三元一次方程组时,不要 盲目求解,要根据各未知数 系数的特点选择适当的消 元方法去求解,在将“三元” 转化为“二元”时,要注意以 下四点: (１)先消去某个方程缺少的 未知数; (２)先消去系数最简单的未 知数; (３)先消去系数成整数倍的 未知数; (４)注意整体加减或代入的 应用． ５７ １．(一题多解)解方程组: x＋y＋z＝２６, x－y＝１, ２x＋z－y＝１８． ì î í ï ï ï ï ① ② ③ 题型一　解三元一次方程组 一般型三元一次方程组的解法 【例１】解方程组: x＋y＋z＝１２, x＋２y＋５z＝２２, x＝４y． ì î í ï ï ï ï ① ② ③ 审题关键:找出方程组中系数比较简单的方程确定用 代入消元法还是加减消元法,先把三元一次方程组 转化为二元一次方程组,再转化为一元一次方程进 行求解． 破题思路:把③分别代入①和②,消去x,得到关于y 和z的二元一次方程组,分别求出它们的值,再把y 的值代入③得到x 的值． 解:把③分别代入①②,得 ５y＋z＝１２, ６y＋５z＝２２,{ 解得 y＝２, z＝２．{ 把y＝２代入③,得x＝８． 所以原方程组的解为 x＝８, y＝２, z＝２． ì î í ï ï ï ï ?  消元法解三元一次方程组的两点注意 (１)在确定消去哪个未知数时,要从整体考虑,一般 选择消去后可以使计算量相对较小的未知数． (２)消去的未知数一定是同一未知数,否则就达不 到消元的目的． 轮换型三元一次方程组的解法 【例２】解方程组: x＋y＝３, ① y＋z＝５, ② z＋x＝４． ③ ì î í ï ï ï ï ６７ 审题关键:对于一些特殊的方程组,除常用的代入消 元法和加减消元法之外,还可以根据方程组中方程 的特点,采用一些特殊的方法来消元． 破题思路:先将①②③相加,再用所得方程分别减去 ①②③,就可以得到原方程组的解． 解:①＋②＋③,得２(x＋y＋z)＝１２,即x＋y＋z＝６．④ ④－①,得z＝３; ④－②,得x＝１; ④－③,得y＝２． 所