1.4 角平分线的性质课件2023-2024学年 湘教版数学八年级下册

1.4 角平分线的性质 第1课时角平分线的性质定理及其逆定理 湘教版数学八年级下册 第1章 直角三角形 复习导入 角平分线的概念 O B C A 1 2 角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成两个相等的角. 尺规做角的平分线 N M C 观察领悟作法，探索思考证明方法： 画法： 1.以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N． 2.分别以M，N为圆心．大于 MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C． 3.作射线OC． 射线OC即为所求． 动动手: 将手中的三角形纸片按如下顺序操作，并标好对应字母: ①将∠AOB对折，记折痕为OC ； ②以OA(OB)为直角边剪一个直角三角形； ③展开，观察分析； 探究新知 A O B A O C （B） A D O P C E B A O C （B） P 交流探究 问题一：第一条折横分得的两个角的大小有什么关系？ 问题二：PD和PE与OA和OB有什么位置关系 ?它们的长度有什么关系？ 问题三：你能用自己的语言总结角平分线上点的特点吗? 问题四：你能证明你的结论吗？ 探究新知 A O B A O C （B） A D O P C E B A O C （B） P 一般情况下.我们要证明几何命题时，可以按照以下步骤进行.即: 1.明确命题中的条件和结论； 2.根据题设，画出图形.并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，写出证明过程. 探究新知 A O B A O C （B） A D O P C E B A O C （B） P 探究新知 将∠AOB沿OC对折，我发现PD与PE重合，即PD与PE相等. 你能证明吗？ 如图1-26，在∠AOB的平分线OC.上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗? A D O P C E B 图1-26 由此得到角平分线性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 探究新知 如图1-26，在∠AOB的平分线OC.上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗? 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO= 90°. 在△PDO和△PEO中，∵∠PDO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，OP=OP， ∴△PDO≌△PEO. ∴PD= PE. A D O P C E B 图1-26 7 探究新知 如图1-26，在∠AOB的平分线OC.上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗? A D O P C E B 图1-26 由此得到角平分线性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 符号语言： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB. ∴ PD=PE. 探究新知 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗? 如图1-27， 点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB.垂足分别为点D，E.若PD=PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗? 证明：如图1-27，过点O, P作射线OC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO= ∠PEO= 90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP= OP，PD=PE, ∴Rt△PDO≌Rt△PEO.∴∠AOC=∠BOC. ∴OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上. A D O P C E B 由此得到角平分线性质定理的逆定理： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 图1-27 探究新知 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗? 如图1-27， 点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB.垂足分别为点D，E.若PD=PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗? A D O P C E B 图1-27 由此得到角平分线性质定理的逆定理： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 符号语言： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， PD＝PE． ∴ OP平分∠AOB． 图形 名称 图形语言 文字语言 符号语言 关键词 角平分线 性质定理 逆定理 P C ∵OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E ∴PD=PE 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 一平分， 两个垂直， 得一个相等. P C ∴OP平分∠AOB ∵PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 两个垂直， 一个平分， 得一个相等. 归纳小结 例 1 如图1-28， ∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2. (1)求证: 点B在∠ADC的平