云南省文山州广南县第一中学校2023-2024学年高三上学期数学周测试卷（15）

2024届高三数学周测试卷（15） 内 容: 数列、立体几何 训练时间：60分钟 班 级： 姓名： 一、单选题（每题5分，共20分） 1．已知空间中点，则点A关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．已知正方体，若，则正方体的棱长等于（    ） A． B． C． D． 3．已知，1，，，3，，，7，，点，，在平面内，则的值为（    ） A． B．1 C．10 D．11 4．在四面体中，点在上，且，为的中点，若，则使与共线的的值为 A．1 B．2 C． D． 二、多选题（每题5分，共10分） 5．如图，空间四边形OABC中，M，N分别是边OA，CB上的点，且，，点G是线段MN的中点，则以下向量表示正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在正四棱柱中，为四边形对角线的交点，点在线段上运动（不含端点），下列结论正确的是（    ） A．直线与直线所成角的余弦值为 B．点到平面的距离为 C．线段上存在点，使得平面 D．正四棱柱外接球的表面积为 三、填空题（每题5分，共10分） 7．如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，则长度为 . 8．已知点，，，，点Q在直线上运动，则的最小值为 . 四、解答题 9.（10分）．已知数列满足：，且对于任意正整数n，均有． (1)证明：为等差数列； (2)若，求数列的前n项和． 10．（12分）如图所示，在三棱柱中，是正三角形，D为棱AC的中点，，平面交于点E. (1)证明：四边形是矩形 (2)若，，求平面与平面的夹角的余弦值. 11．（12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，为的中点，，且，. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 高三数学周测试卷（15）解析 1．【详解】空间中点，则点A关于平面对称的点的坐标是.故选：A. 2．【详解】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则、、、， ，，则，可得. 因此，正方体的棱长为.故选：C. 3．【详解】解：点，，在平面内，存在实数，使得等式成立， ，，，2，，6，，，消去，解得． 故选：D． 4．【详解】，，假设三点共线，则存在实数使得 ， 得 ，解得.故选：A. 5．【详解】空间四边形OABC中，，，点G是线段MN的中点， ， ，D正确； 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误.故选：BD 6．【详解】构建如下图示的空间直角坐标系，则， 所以，则， 所以直线与直线所成角的余弦值为，A对； 由，则，若是面一个法向量， 故，令，则，而， 所以点到平面的距离，B对； 由且，则，显然不可能与平行，C错； 由正四棱柱的外接球半径为体对角线的一半，即为，故外接球的表面积为，D错. 故选：AB 7．【详解】因为. 所以 ，所以.故答案为：. 8．【详解】点Q在直线上运动，设， 则，. . 当时，取得最小值.故答案为： 9．【详解】（1）证明：根据题意由可得， 所以可得，即为定值； 因此是首项为，公差为的等差数列； （2）由（1）可得，即； 所以， 可得， 所以， 两式相减可得： ， 所以可得，可得数列的前n项和. 10．【详解】（1）取的中点，则点为平面与棱的交点， 证明如下：连接和， 因为点分别是和的中点，所以∥，， 因为∥，，所以∥，， 所以四边形是平行四边形， 所以点为平面与棱的交点， 因为，∥，所以 所以四边形是矩形， （2）连接， 在正中，为的中点，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为，，所以为正三角形， 因为为棱的中点，所以， 以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 设三棱柱的棱长为2，则， 所以,， 设平面的法向量为，则 ，令，则 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角的大小为，则 ， 所以平面与平面的夹角的余弦值为 11．【详解】（1）∵，为的中点，∴. 在中，，∴， 又，∴，∴， 又∵，，    且平面，平面，,∴平面，∴ 又平面，平面，, ∴平面. （2）以A为坐标原点，射线分别为轴、轴、轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知：，，，，， 则，，. ∵，，∴. 由（1）知，，且平面，平面，, ∴平面.故为平面的一个法向量. 设平面的法向量为， 则，即，不妨令y=1，则. 从而， 所以.故二面角的正弦值为. 4 5 学科网（北京）股份有限公司 $$