专题13 指数 （4个知识点2个拓展1个突破3种题型1个易错点）-【倍速学习法】2023-2024 学年高一数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修第一册）

专题13指数 （4个知识点2个拓展1个突破3种题型1个易错点） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.根式 知识点2.根式的性质 知识点3.分数指数幂的意义 知识点4.有理数指数幂的运算性质 拓展1.根式的简单性质 拓展2.分数指数幂和根式的化简、求值 突破： 条件求值 【方法二】 实例探索法 题型1.根式 题型2.分数指数幂 题型3.实数指数幂的运算性质 【方法三】差异对比法 易错点.忽略偶次根式的成立条件而致错 【方法四】 成果评定法 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.根式 (1)a的n次方根定义 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) (3)根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 【例1】．已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子： ①；②；③；④，其中无意义的有(　　) A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　 D．0个 【变式】(1)27的立方根是________． (2)已知x6＝2 019，则x＝________. (3)若有意义，则实数x的取值范围为________． 知识点2.根式的性质 2．根式的性质(n>1，且n∈N*) (1)n为奇数时，＝a. (2)n为偶数时，＝|a|＝ (3)＝0. (4)负数没有偶次方根． 【例2】．若＝3a－1，求a的取值范围． 【变式】.化简下列各式： (1)＋()5； (2)＋()6； (3). 知识点3.分数指数幂的意义 分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：a－＝＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义 【例3】.已知a＋a＝4，求下列各式的值： (1)a＋a－1；(2)a2＋a－2. 知识点4.有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 【例4】计算下列各式： (1). (2). 拓展1.根式的简单性质 根式运算中，常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况，特别要注意两者运算顺序是否可换、何时可换，应正确使用公式： 【例5】．求下列各式的值； ； 拓展2.分数指数幂和根式的化简、求值 在进行分数指数幂和根式的化简时，一般先将根式化成幂的形式，化小数指数幂为分数指数幂，化负指数为正指数，并尽可能地统一成分数指数幂的形式 ，再利用幂的运算性质进行化简、求值，达到化繁为简的目的 【例6】将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)(a>0)； (2)； (3)(b>0)． 【变式】．将下列根式与分数指数幂进行互化： (1)a3·；(2)(a>0，b>0)． 突破： 条件求值 条件求值是代数式求值中的常见题型，解决条件求值问题的一般方法是整体代能入法 一般先化简代数式，再将字母取值代入求值但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同的结构，从而通过“整体代换法”巧妙地求出代数式的值 【例7】　(1)若x<0，则x＋|x|＋＝________. (2)若－3<x<3，求－的值． 【方法二】实例探索法 题型1.根式 1.　(1)若x<0，则x＋|x|＋＝________. (2)若－3<x<3，求－的值． 题型2.分数指数幂 2．计算： (1)； (2). 3．计算：． 题型3.实数指数幂的运算性质 4．（2022秋•普陀区校级月考）已知a＞0，则化简的结果是（　　） A．a﹣2 B．a﹣1 C．a D．a2 5．化简：＝　 （其中a＞0，b＞0）． 【方法三】差异对比法 易错点.忽略偶次根式的成立条件而致错 6．求下列各式的值； ． 【方法四】 成果评定法 一．选择题（共8小题） 1．（2023秋•铁东区校级期中）化简的结果为（ ） A． B． C． D．6ab 2．（2023秋•无锡期中）当有意义时，化简的结果是（ ） A．2x﹣7 B．﹣2x+1 C．﹣1 D．7﹣2x 3．（2023秋•大丰区校级期中）下列等式不正确的是（ ） A． B．e2x＝（ex）2 C．lg（lne）＝0 D． 4．（2023秋•金牛区校级期中）计算的值为（ ） A．17 B．18 C．6 D