7.1 不等式及其基本性质-【教材解读】2024春七年级下册数学（沪科版)

第７章　一元一次不等式 与不等式组 ７．１　不等式及其基本性质 (１)不 等 式 可 以 是 表 示 数 的大 小 不 等 的 式 子,也 可 以是表示数量关系的大小 不等 的 式 子,即 不 等 式 中 不一定含有未知数． (２)不等号具有方向性,其 左右两边的式子不能随意 交换． 知识点一　不等式 不等式的概念 用不等号(＞、≥、＜、≤或≠)表示不等关系的式子叫 做不等式． 常见的不等号及其意义 名称 符号 读法 意义 大于号 ＞ 大于 左边的量大于右边的量 小于号 ＜ 小于 左边的量小于右边的量 大于或等 于号 ≥ 大于或等于,即 不小于 左边 的 量 不 小 于 右 边 的量 小于或等 于号 ≤ 小于或等于,即 不大于 左边 的 量 不 大 于 右 边 的量 不等号 ≠ 不等于 表示两边的量不相等, 但未明确哪边的量大 【例１】下列式子中哪些是不等式? ①２x＝２０１８;②３＞１２;③x≠４－３;④５a＋６b; ⑤ １ ３x＜２y ;⑥１≤３x＋５m;⑦s＝vt． 解:①⑦是用等号连接的式子,是等式,不是不等式; ④是一个代数式,不是不等式; ②③⑤⑥是用不等号表示不等关系的式子,是不等式． ４３ 把握关键点,轻松判定不等式 判定一个式子为不等式,要把握两点:(１)含有 不等号,(２)表示不等关系,只有二者同时具备,才是 不等式．一个式子是否为不等式,与不等式是否成立 没有关系,如３＞１２并不成立,但它仍是不等式． 知识点二　用不等式表示数量之间的不等关系 同类量之间的不等关系,可以用数学中的不等式来表 示．把实际问题中的不等关系抽象为不等式,要把握以 下两点: (１)明确问题中常用的表示不等关系的词语的意义, 如“非负数(≥０)”“不大于(≤)”“不小于(≥)”等; (２)在有些实际问题中,不等关系隐含在具体的情境 中,如买东西时花去的钱不应超过原有的钱,解题时, 要结合情境认真分析． 列不等式的一般步骤 设未知数(若问 题中已有,则不 必设) ⇨ 用 代 数 式 表 示 问 题 中的量 ⇨ 根据题目中的不 等关系列出不等 式 【例２】用不等式表示下列不等关系: (１)a 的 １ ２ 与b的３倍的和是非负数; (２)x 与５的和的７５％不大于－１６; (３)a 与b两数和的平方不小于１８; (４)一个数减３的差的２倍小于它与４的和． 解:(１) １ ２a＋３b≥０． (２)７５％(x＋５)≤－１６． (３)(a＋b)２≥１８． (４)设这个数为x,则２(x－３)＜x＋４． 常见不等式的基本语言 及符号表示 基本语言 符号表示 x 是正数 x＞０ x 是负数 x＜０ x 是非负数 x≥０ x 是非正数 x≤０ x 大于y x＞y x 不大于y x≤y ５３ 不等式、等式的基本 性质的联系与区别 (１)联系:不等式的两边都 加上(或减去)同一个数或 同一个整式,都乘以(或除 以)同一个正数,不等号的 方向 不 变;等 式 的 两 边 都 加上(或减去)同一个数或 同一个整式,都乘以(或除 以)同一个正数,等式仍然 成立． (２)区别:①不等式的两边 都乘以(或除以)同一个负 数,不等号的方向改变;等 式的两边都乘以(或除以) 同 一 个 负 数,等 式 仍 然 成立; ②不等式中,如果a＞b,那 么b＜a;等式中,如果a＝ b,那么b＝a． 　　解决此类问题的关键是能将文字语言翻译成符 号语言,并用代数式及不等号表示出来．列不等式时, 一定要抓住关键词语,并选用正确的不等号进行表示． 知识点三　不等式的基本性质 基本 性质 文字语言 数学语言 性质１ 不等式的两边都加上(或减 去)同一个数或同一个整式, 不等号的方向不变 如果a＞b,那么a＋c＞ b＋c,a－c＞b－c 性质２ 不等式的两边都乘以(或除 以)同一个正数,不等号的方 向不变 如果a＞b,c＞０,那么 ac＞bc, a c＞ b c 性质３ 不等式的两边都乘以(或除 以)同一个负数,不等号的方 向改变 如果a＞b,c＜０,那么 ac＜bc, a c＜ b c 性质４ 如果a＞b,那么b＜a 性质５ 如果a＞b,b＞c,那么 a＞c 【例３】已知m＞n,用“＞”或“＜”填空: (１)m＋２　　　n＋２;(２)m－５　　　n－５; (３)２m　　　２n;(４) m ２　　　 n ２ ; (５)－ m ３　　　－ n ３ ;(６)５m－３　　　５n－３． 解析:(１)因为 m＞n,依据不等式的性质１,不等式的两 边都加上２,不等号的方向不变,所以m＋２＞n＋２． (２)因为m＞n,依据不等式的性质１,不等式的两边都 减去５,不等号的方向不变,所以m－５＞n－５． (３)因为m＞n,依据不等式的性质２,不等式的两边都 乘以２,不等号的方向不变,所以２m＞２n．