9.2 分式的运算-【教材解读】2024春七年级下册数学（沪科版)

９．２　分式的运算 知识点一　分式的乘除 分式的乘法法则 文字语言 两个分式相乘,用分子的积作积的分子,用分母 的积作积的分母 符号语言 【例１】计算:(１) ３ab ４cd 􀅰２cd ２ ３ab２ ;　(２) x＋１ x２－１ 􀅰３x ２－３x x ． 解:(１) ３ab ４cd 􀅰２cd ２ ３ab２ ＝ ３ab􀅰２cd２ ４cd􀅰３ab２→ 分子与分 子相乘, 分母与分 母相乘 ＝ d ２b．→ 约分、化简 (２) x＋１ x２－１ 􀅰３x ２－３x x ＝ x＋１ (x＋１)(x－１) 􀅰３x (x－１) x → 因 式 分 解 ＝ １ x－１ 􀅰３ (x－１) １ → 约分 ＝ ３(x－１) x－１ → 分式乘法法则 ＝３． 分式乘法的两种类型 (１)若分子、分母是单项式,可先将分子、分母分别相 乘,再约去公因式,化为最简分式; (２)若分子、分母中有多项式,先把分子、分母中的多 项式因式分解,再看能否约分,最后相乘． (１)法则中的a,b,c,d 均为 整式,且b,d 均不等于０． (２)分式的乘法与分数的乘 法类似,可类比分数的乘法 进行计算． (３)分 式 与 分 式 相 乘,先 确 定积 的 符 号:同 号 得 正,异 号得负．分子或分母在相乘 时,按照整式的乘法法则进 行计算． (４)分式乘法的运算结果要 化为最简分式或整式． (５)整 式 与 分 式 相 乘,可 把 整式看成分母为１的式子, 利用分式的乘法法则计算． ５４１ (１)法则中的a,b,c,d 均 为整式,且b,c,d 均不等 于０． (２)分式的除法运算中,先 将除 法 转 化 为 乘 法,体 现 了转化思想． (３)对于分式的乘除运算, 如果 没 有 附 加 条 件(如 括 号),那么要按照从左到右 的顺序计算． (４)分 式 除 法 的 运 算 结 果 要化为最简分式或整式． 分式的除法法则 文字语言 两个分式相除,将除式的分子、分母颠倒位置后, 与被除式相乘 符号语言 【例２】计算:(１) －３ab ２c２ ÷ ３ab２ ４cd ; (２)(x２－２xy＋y２)÷ xy－y２ x＋y ． 解:(１) －３ab ２c２ ÷ ３ab２ ４cd ＝－ ３ab ２c２ 􀅰４cd ３ab２→ 把除式的分子、分母颠 倒位置,与被除式相乘 ＝－ ３ab􀅰４cd ２c２􀅰３ab２→ 分式乘法法则 ＝－ ２d bc．→ 约分、化简 (２)(x２－２xy＋y２)÷ xy－y２ x＋y ＝ x２－２xy＋y２ １ 􀅰 x＋y xy－y２ →分式除法法则 ＝ (x－y)２ １ 􀅰 x＋y y(x－y) →因式分解 ＝ (x－y)２􀅰(x＋y) y(x－y) →分式乘法法则 ＝ x２－y２ y ．→约分、化简 分式乘、除本一家,一变一倒求除法 分式的除法运算要抓住“一变一倒”,即变除法为 乘法,把除式的分子、分母颠倒位置．如果除式是整式, 应先把它的分母看成１,再把分子、分母颠倒位置． ６４１ 知识点二　分式的乘方 文字语言 分式乘方就是把分子、分母分别乘方 符号语言 (ab ) n ＝ an bn (b≠０,且n 为正整数) 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　注意:在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法 和除法运算时,应先算乘方,再算乘除． 【例３】计算: (１)( x３ －y２ ) ４;　(２)( a２b －c３ ) ３;　(３)( x－y －z２ ) ３ ． 解:(１)( x３ －y２ ) ４ ＝ (x３)４ (－y２)４ ＝ x１２ y８ ． (２)( a２b －c３ ) ３ ＝ (a２b)３ (－c３)３＝－ a６b３ c９ ． (３)( x－y －z２ ) ３ ＝ (x－y)３ (－z２)３＝－ (x－y)３ z６ ． 分式乘方看“两号” (１)符号:若分式中有负号,要先确定分式的符号; (２)括号:当分式的分子或分母是多项式时,要用括 号将多项式括起来,把它看成一个整体． 知识点三　分式的通分 通分 化异分母分式为同分母分式的过程,叫做分式的通分． 最简公分母 异分母分式通分时,通常取各分母所有因式的最高次 幂的积作为公分母,这样的公分母叫做最简公分母． 确定最简公分母的方法 (１)若各分母都是单项式,则取各分母系数的最小公 倍数与所有字母的最高次幂的积作为最简公分母