9.1 分式及其基本性质-【教材解读】2024春七年级下册数学（沪科版)

第９章　分　式 ９．１　分式及其基本性质 分 式 实 际 上 是 一 个 商 式, 它的 分 子 是 被 除 式,分 母 是除 式,分 数 线 相 当 于 除 号,同 时 分 数 线 也 有 括 号 的作用．例如, a－１ a＋１ 也可以 表示为(a－１)÷(a＋１)． π是常数,而不是表示不同 数的“字母”． 知识点一　分式与有理式的概念 分式满足的三个条件 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　注意: 分式与分数、整式的区别与联系 (１)分数的分母是整数,而分式的分母是整式,且必须 含有字母;分数是分式中字母取特定值后得到的数． (２)区分整式和分式的标准是看分母中是否含有字 母,含有字母的是分式;不含有字母的是整式． 有理式的概念 整式和分式统称为有理式,即有理式 整式, 分式．{ 【例１】下列代数式中,哪些是分式? 哪些是整式? x x－１ ,a ２－１ ２ ,x π ,－３x＋y x－y ,mn ２ m ． 解:整式有a ２－１ ２ ,x π ;分式有 x x－１ ,－３x＋y x－y ,mn ２ m ． 分式辨别要“两看” (１)看分母:若分母中含有字母,则可直接判断是分式． 注意圆周率“π”不是字母． (２)看“本来面目”:只需从原始形式上进行直观判断, 千万不要化简．例如, x２ x 是分式,而x 是整式． ０３１ 　知识点二　分式有(无)意义及分式的值为０的条件 分式有(无)意义及分式的值为０的条件 分类 条件 举例说明 分式a b 有意义 分 母 不 为 零, 即b≠０ １ x－１ 有意义,是指x－１≠０ 分式a b 无意义 分 母 等 于 零, 即b＝０ １ x－１ 无意义,是指x－１＝０ 分 式a b 的 值 为０ 分 子 为 零,分 母 不 为 零,即 a＝０,且b≠０ x２－１ x＋１＝０ ,需要 x＋１≠０, x２－１＝０{ 分式的值不为０的条件(拓展) 对于分式a b :(１)若 a b 的值为正数,则a＞０ , b＞０{ 或 a＜０, b＜０;{ (２)若 a b 的值为负数,则a＞０ , b＜０{ 或 a＜０, b＞０;{ (３)若 a b 的值为１,则a＝b,且b≠０; (４)若 a b 的值为－１,则a＋b＝０,且b≠０． 【例２】(湖北武汉中考)若代数式 １ x－３ 在实数范围内有 意义,则实数x 的取值范围是 (　　) A．x＜３　　　　　　　B．x＞３ C．x≠３ D．x＝３ 解析:依题意,得x－３≠０,解得x≠３．故选C． 答案:C 分母———分式有无意义的“决定者” 分式有无意义取决于分母．要使分式有意义,只 要保证分式的分母不为０即可．同理,要使分式无意 义,只要让分母为０即可． (１)分 式 的 分 母 表 示 除 数, 因为除数不能为０,所以分 式的分母不能为０,即当b≠ ０时,分 式 a b 才 有 意 义;当 b＝０时,分式 a b 无意义． (２)分母不为０,并不是说分 母中的字母不能为０,而是 表示 分 母 的 式 子 的 值 不 能 为０,千万不要混淆哦! 讨论分式有无意义时,一定 要对原分式进行讨论,而不 能先 将 原 分 式 化 简 后 再 进 行讨论．因为化简后再讨论, 分母 里 字 母 的 取 值 范 围 往 往会 扩 大．例 如,分 式 x２ x 化 简后为x,对x 进行讨论,得 到x 取任何实数,分式都有 意义,这 显 然 是 错 误 的,实 际上x≠０． １３１ (１)运 用 分 式 的 基 本 性 质 将分 式 变 形 时,要 注 意 限 制条件 m≠０,同时也要注 意隐含条件b≠０． (２)若 分 式 的 分 子 或 分 母 是多 项 式,则 要 先 用 括 号 把分 子 或 分 母 括 起 来,再 乘以(或除以)同一个不等 于０的 整 式,避 免 只 用 分 子或分母中的部分项乘以 (或 除 以)这 个 不 为０的 整式． 【例３】(甘肃天水中考)已知分式 (x－１)(x＋２) x２－１ 的值为 ０,那么x 的值是 (　　) A．－１ B．－２ C．１ D．１或－２ 解析:根据题意,得(x－１)(x＋２)＝０,即x－１＝０或x＋ ２＝０,解得x＝１或x＝－２．当x＝１时