8.1 幂的运算-【教材解读】2024春七年级下册数学（沪科版)

第８章　整式乘法与因式分解 ８．１　幂的运算 知识点一　同底数幂的乘法 【例１】计算: (１)１０２×１０３; (２)x２􀅰x３􀅰x５; (３)(a＋b)２􀅰(a＋b)４; (４)－２２×(－２)４; (５)(a－b)３􀅰(b－a)２; (６)(m－n)３􀅰(n－m)４􀅰(m－n)． 解:(１)原式＝１０２＋３＝１０５． (２)原式＝x２＋３＋５＝x１０． (３)原式＝(a＋b)２＋４＝(a＋b)６． (４)原式＝－２２×２４＝－２６． (５)方法１:原式＝(a－b)３􀅰(a－b)２ ＝(a－b)５． 方法２:原式＝－(b－a)３􀅰(b－a)２ ＝－(b－a)５． (６)原式＝(m－n)３􀅰(m－n)４􀅰(m－n) ＝(m－n)３＋４＋１ ＝(m－n)８． (１)同底数幂的乘法的适用 条件:①同 底 数 的 幂;②相 乘;③指数都是正整数． (２)不要忽略指数是１的因 式,如x􀅰x３＝x１＋３＝x４． (３)底 数 可 以 是 单 项 式,也 可以是多项式．当底数是多 项式时,通常把多项式作为 一个 整 体,运 用 整 体 思 想 求解． ７７  同底数幂的乘法的推广 和逆用 (１)推 广:am 􀅰an 􀅰ap＝ am＋n＋p(m,n,p 都是正整 数); am 􀅰 an 􀅰 􀆺 􀅰 ap ＝ am＋n＋􀆺＋p (m,n,􀆺,p 都 是正整数)． (２)逆 用:am＋n＝am 􀅰an (m,n 都是正整数)． 在幂 的 乘 方 中,底 数 可 以 是 单 项 式,也 可 以 是 多 项式． 同底数幂的乘法的注意事项 在计算时,一定要注意“同底数”这个条件．当底数 不同时,要先转化为相同的底数,再运用运算性质进 行计算．在转化过程中,要注意符号问题,其中常见变 形如下: (－a)n＝ an(n 为偶数), －an(n 为奇数);{ (a－b)n＝ (b－a)n(n 为偶数), －(b－a)n(n 为奇数)．{ 知识点二　幂的乘方 幂的乘方 幂的乘方与同底数幂的乘法的区别和联系 幂的乘方 同底数幂的乘法 区别 幂的乘方是几个相同的 幂相乘的积,其结果是 底数不变,指数相乘 同底数幂的乘法是几个底数 相同的幂相乘,其结果是底 数不变,指数相加 联系 (１)幂的乘方可以转化为同底数幂的乘法,如(a３)２＝ a３􀅰a３＝a３＋３＝a６; (２)当指数相同的同底数幂相乘时,同底数幂的乘法可 以转化为幂的乘方,如a３􀅰a３＝(a３)２＝a３×２＝a６ 【例２】计算:(１)(１０３)４;　(２)(－m６)３;　(３)(－xm)４; 　(４)(b４)４􀅰b３． 解:(１)(１０３)４＝１０３×４＝１０１２． (２)(－m６)３＝－m６×３＝－m１８． (３)(－xm)４＝xm×４＝x４m． (４)(b４)４􀅰b３＝b４×４􀅰b３＝b１６􀅰b３＝b１９． ８７ 　　当运用幂的有关运算法则计算时,要注意区分幂 的乘方和同底数幂的乘法法则的应用．若幂中含有负 号,则需要先确定符号,再利用法则进行计算;若式子 中同时含有乘方与乘法运算,则先算乘方,再算乘法． 知识点三　积的乘方 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　注意:(１)形式:底数必须是积的形式． (２)系数:当底数中有多个因式时,不能漏掉系数因 式的乘方． 【例３】计算: (１)(２a２b)３;　　　　(２)(－ ２ ３xy ３) ３; (３)[m(n＋３)]９; (４)(－１ ２ ３) ２０２０ × ( ３ ５) ２０２０ ． 解:(１)(２a２b)３＝２３􀅰(a２)３􀅰b３＝８a６b３． (２)(－ ２ ３xy ３) ３ ＝ (－ ２ ３) ３􀅰x３􀅰(y３)３＝－ ８ ２７x ３y９． (３)[m(n＋３)]９＝m９(n＋３)９． (４)( －１ ２ ３ ) ２０２０ × ( ３ ５ ) ２０２０ ＝ ( － ５ ３× ３ ５ ) ２０２０ ＝ (－１)２０２０＝１． 　　当指数相同的两个或多个幂相乘时,如果底数的 积容易求出,那么可先利用anbn＝(ab)n 把底数相 乘,再进行乘方运算,从而使运算更简便．  幂的乘方的推广和逆用 (１)推 广:[(am )n]p＝amnp (m,n,p 都是正整数)． (２