7.2 一元一次不等式-【教材解读】2024春七年级下册数学（沪科版)

７．２　一元一次不等式 知识点一　一元一次不等式 　一元一次不等式必须具备的三个条件 【例１】判断下列各式是否为一元一次不等式． (１)x２＋２x＞３;(２) １ x－２＜２x ;(３)２x－y≥０; (４)３x－ x ２≤－２． 解:因为(１)中未知数的次数不都是１,所以(１)不是一元 一次不等式． 因为(２)中不等式的左边含有 １ x ,不是整式,所以(２) 不是一元一次不等式． 因为(３)中含有两个未知数,所以(３)不是一元一次不 等式． 因为(４)中３x－ x ２≤－２ 可化为５x ２≤－２ ,满足一元一 次不等式的三个条件,所以(４)是一元一次不等式． 判断一元一次不等式的几点注意 判断一个式子是否为一元一次不等式,要做到两点: (１)式子需要化简的,先进行化简; (２)判断是否具备一元一次不等式的三个条件． 只有同时满足上面要求的,才是一元一次不等式． (１)判 断 一 元 一 次 不 等 式 时,三个条件缺一不可． (２)判断不等式是否为一元 一次不等式,有时需要先化 简再判断．例如,２x＋２(１－ x)＞３(化简后变为２＞３)不 是一元一次不等式． ５４ 不等式解集的两个特征 (１)解 集 中 每 一 个 数 值 都 能使不等式成立; (２)使 不 等 式 成 立 的 每 一 个数 值 都 在 不 等 式 的 解 集中． (１)不 等 式 的 解 集 只 有 一 个解 时,不 等 式 的 解 集 就 是它的解．例 如,x２≤０的 解集就是它的解x＝０． (２)一 个 不 等 式 的 解 一 般 有无 数 个,但 并 不 意 味 着 任何一个数都是它的解． 知识点二　不等式的解与解集 不等式的解与解集的概念 不等式的解与解集的区别和联系 不等式的解 不等式的解集 区别 满足不等式的未知数的某 个值 满足不等式的未知数的所 有值 可以有“无数个” 不等式确定,它的解集也 就确定 联系 不等式的所有解组成了不等式的解集,不等式的解集 中包含了不等式的每一个解 【例２】下列说法中,错误的是 (　　) A．不等式x＜２的正整数解只有一个 B．－２是不等式２x－１＜０的一个解 C．不等式－３x＞９的解集是x＞－３ D．不等式x＜１０的整数解有无数个 解析: 选项 理由 结论 A 不等式x＜２的正整数解只有一个,是１ 正确 B 当x＝－２时,不等式２x－１＝２×(－２)－１＝ －５＜０,所以－２是不等式２x－１＜０的一 个解 正确 C －３x＞９的左右两边都除以－３时,不等号的 方向改变,得x＜－３,即不等式－３x＞９的解 集是x＜－３ 错误 D 不等式x＜１０的整数解有９,８,７,６,５,４,３,２, １,０,－１,－２,􀆺,有无数个 正确 答案:C ６４ 判断不等式的解(解集)的方法 判断一个数是否为不等式的解,只需把这个数 代入不等式中,看能否使不等式成立．如果成立,那么 该数是不等式的解;否则不是． 不等式的解集一般是一个范围,如果这个范围 不包括所有使不等式成立的未知数的值,或者这个 范围内存在使不等式不成立的值,那么它就不是不 等式的解集． 知识点三　解不等式 解不等式的概念 求不等式解集的过程叫做解不等式． 解不等式的一般步骤 【例３】解不等式: ２x－１ ４ ＞x＋１． 解:去分母,得２x－１＞４(x＋１)． 去括号,得２x－１＞４x＋４． 移项,得２x－４x＞４＋１． 合并同类项,得－２x＞５． 系数化为１,得x＜－ ５ ２． (１)解不等式的实质是把不 等式化成x＞(≥)a 或x＜ (≤)a 的形式． (２)在 解 一 元 一 次 不 等 式 时,每个步骤并不一定都要 用到,可根据具体问题灵活 选用．  不等式x＋１≠０的解集是 x≠－１．推理过程如下: 因为x＋１＝０,所以x＋１－ １＝０－１,即x＝－１． 所以 x＋１≠０的 解 集 是 x≠－１． ７４ 解一元一次不等式与一元 一次方程的区别与联系 一元一 次方程 一元一次 不等式　 标准 形式 ax＋b＝ ０(a≠０) ax＋b＞ (≥)０或 ax＋b＜ (≤ )０ (a≠０) 解法 步骤 ①去分母;②去括号; ③移 项;④合 并 同 类 项;⑤系数化为１ 根据 等式的 性质 不 等 式 的 基本性质 解的 个数 只有一 个解 一 般 有 无 数个解 解(解 集)的 形式 x＝m x＞(≥)m 或x＜(≤) m (１)数 轴 是 表 示 不 等 式 解 集的 重 要 工 具,是 数 与 形 结合的基础． (２)在数轴上,右边的点表 示的数总比左边的点表示 的数大,因此,在数轴上表 示不等式时,要牢记: ①大 于 向 右 画,小 于 向 左 画;②有 等 号 的 端 点 画 实 心圆 点,无 等 号 的 端 点 画 空心圆圈． 解不等式