5.2.1 三角函数的概念（第一课时）课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

5.2 三角函数的概念 第五章 三角函数 5.2.1 三角函数的概念（1） 一 二 三 学习目标 借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号 掌握公式—— 并会应用 学习目标 复习导入 回顾 你能回忆初中所学的直角三角形中锐角三角形的概念吗？你能在下面的直角三角形中找到锐角的三角函数值吗？ 角 实数 弧度制 在弧度制下，我们已经把角的范围扩展到全体实数. 下面用这些知识，研究上节开头提出的问题。 为了不失一般性，先研究单位圆上点的运动. 新知探究 那么现在的任务就是：       如图，单位圆上的点以为起点做逆时针方向旋转，建立一个数学函数模型，刻画点的位置变化情况. 追问 要完成这个任务，我们需要什么工具来研究？ ①建立函数模型,要利用直角坐标系. ②根据弧度制的定义，需要借助单位圆. 如图，以单位圆的圆心O为原点， 以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，则A(1,0)，P(x,y). 射线OA从x轴非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.       新知探究 问题1 已知圆周上的动点P的位置由角α的终边OP与圆的交点唯一确定，那么能否建立点P 的位置(坐标)与角α的函数关系？ 点P的坐标如何求？ 由特殊到一般 当α= 时，点P的坐标是什么？当α= 或α= 时，点P的坐标又是什么？ A(1,0) P O x α A(1,0) P O x α A(1,0) P O x α M 方法:过点P向x轴做垂线，得到RT∆OPM，可以用锐角三角函数求点P的坐标；       追问 一般地，任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？ 角的终边确定，终边与单位圆的交点P确定 点P的横坐标x、纵坐标y都是关于角α的函数 当角α确定时 点P的横坐标和纵坐标都是唯一确定的 新知探究 6 概念生成 设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆相交于点P(x，y) (1)把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数,记作sinα, 即 y=sinα; (2)把点P的横坐标x叫做α的余弦函数,记作cosα, 即 x=cosα (3)把点P的纵坐标和横坐标的比值 叫做α的正切函数,记作tanα, 即 =tanα     (x≠0). 概念生成 正弦函数，余弦函数，正切函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数. 追问1 任意角三角函数的定义域分别是什么呢? 按照函数的定义与常用的符号，我们通常将它们记为: 正弦函数：y=sinx, 余弦函数：y=cosx, 正切函数：y=tanx, x∈R x∈R 三角函数第一定义（单位圆定义） 追问2 这个定义相对于锐角三角函数的定义有什么不同呢? 任意角的三角函数是通过角与单位圆交点的坐标定义的， 锐角三角函数是通过直角三角形边长的比值定义的， 在单位圆中直角三角形斜边为1，所以锐角三角函数也可用角的终边与单位圆交点的坐标定义，此时终边上的点都在第一象限，因此锐角三角函数值都是正数，而任意角的三角函数值可以是负数. 锐角三角函数的自变量是锐角，可以理解为 新知探究 9 典例解析 例1 求的正弦、余弦和正切值。     解: 在坐标系中作出∠AOB= ， 易知∠AOB的终边与单位圆的交点P的坐标为   所以       解： 巩固练习 课本P179~180 α 设α的终边与单位圆交于点P0(x0,y0),分别过点P,P0作x轴的垂线PM,P0M0,垂足分别为M,M0,则: 则 |P0M0|＝| y0|，|PM|＝|y|， |OM0|＝|x0|， |OM|＝|x|， ∴sinα=y0, ΔOMP∽ΔOM0P0 ∵ y与y0同号 典例解析 例2 如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点(不与原点重合)的坐标为,点与原点的距离为. 求证： 证明: 于是， 即 ∴ 即 同理可得 只要知道角终边上任意一点的坐标，就可以求得角的各个三角函数值，并且这些函数值不会随点的位置的改变而改变. 反思 由例2可得什么结论？ 12 概念生成 设角α是一个任意角，P(x,y)是终边上的任意一点， 点P与原点的距离为 那么① 叫做α的正弦，即 ② 叫做α的余弦，即 ③ 叫做α的正切，即 任意角α的三角