第06讲 函数的单调性与最值 专题讲义-2024届高三数学一轮复习

努力成就梦想 方法创造奇迹 第06讲 函数的单调性与最值 【必备知识】 1、函数单调性定义 （1）增函数 (2)减函数 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 必须是对于区间D内的任意两个自变量；当时，总有 ． 是单调递增（减）函数过单调递增（减）函数图象上任意不同两点的割线斜率恒大于（小于）0 2．函数的单调性定义：如果函数在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间： 如：已知是在上的减函数，那么的取值范围是______ 特别提醒：：(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示． (2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接． 3．判断函数单调性的方法： （1）定义法：（一般主要用在抽象函数，具体函数的单调性主要用数形结合和导数法） 一般步骤： 任取，且； 作差； 变形（通常是因式或完全平方）； 定号（即判断差的正负）； 下结论（即指出函数在给定的区间上的单调性）． （2） 导数法： 确定函数的定义域求导找零点④定单调 （3） 复合函数的单调性（同增异减） 如：求的单调区间 4、 单调性的应用： （1）比较大小（2）求函数的值域与最值(3)解、证不等式（4）作函数的图象。 5、性质： （1）奇函数在相应的区间内单调性是一致的；偶函数在相应的区间内单调性相反。 （2）互为反函数的两个函数有相同的单调性。 6、函数最大（小）值定义：设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1）对于任意的，都有或.（2）存在，使得. 那么，我们称是函数的最大值或最小值． 函数最值存在的两条结论： （1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到． （2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 7、常用结论 在公共定义域内： （1）函数单调递增（减），单调递增（减），则＋是增（减）函数； （2）函数单调递增（减），单调递减（增），则－是增（减）函数； （3）若，则与单调性相同；若，则与单调性相反； （4）函数在公共定义域内与的单调性相反； （5）复合函数的单调性与和的单调性有关．“同增异减”． 8、函数的值域 （1）图象法：通过图象求纵坐标的取值范围。 （2）配方法：主要适用于二次函数或可以转化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围。 （3）分离常数法：分式形式，齐次式考虑用分离常数法。 （4）判别式法：适用二次方程有解，利用判别式（注意自变量范围） （5）单调性法：根据单调性及定义域求值域。 （6）换元法：有代数和三角换元。要注意换元的取值范围。 （7）反解法（有的称为反函数法）：求反函数的定义域。 （8）几何法：化归为解析几何问题（如斜率，距离等） （9）三角函数的有界性。 （10）不等式法：利用均值不等式，一定要满足“一正二定三相等”结合对勾函数求最值 （11）导数法：利用函数的导数求函数的极值，从而求出函数的最值。 【例】1、求下列函数的值域： （1） （2） （3） 2、函数求的值域。 考点20　确定函数的单调性（区间） 【常见方法】确定函数的单调区间的方法 (1)定义法：先求定义域，再利用单调性定义来求．一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论 (2)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”联结，不能用“∪”联结． (3)导数法：利用导数取值的正、负确定函数的单调区间． 　 (4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定． 【例20】1、求函数的单调区间． 2、试讨论函数在(－1,1)上的单调性． 3、下列函数中，满足“且”的是(　　) A．　　　B． C． D． 4、函数的单调递增区间是(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2) 考点21　求函数的值域（最值） 【常见方法】利用函数单调性求最值应先确定函数的单调性，再由单调性求最值． 特别提醒：　(1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域． (2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值． 【例21】1、函数的值域为________． 2、函数的最大值为________． 3、若，则函数的最大值为_____，最小值为_____． 4、已知，且.若对任意，恒成立，则实数的取值范围是________． 考点22　函数单调性的应用 角度1