高二上学期期末考试解答题压轴题50题专练-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第二册）

高二上学期期末考试解答题压轴题50题专练 【人教A版（2019）】 1．（2023上·山东潍坊·高二统考期末）已知向量，，，且，．. (1)求向量，，的坐标； (2)求与所成角的余弦值. 2．（2023下·江苏宿迁·高二统考期末）在四棱柱中，，，，.    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； (3)判断直线能否是平面和平面的交线，并说明理由. 3．（2023下·浙江舟山·高二统考期末）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，平行于和的平面分别与交于四点．    (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 4．（2023下·浙江台州·高一温岭中学校考期末）如图，已知四棱台的底面是菱形，且，侧面是等腰梯形， ，为棱上一点，且.    (1)求证：平面平面； (2)若过点的平面与平行，且交直线于点，求二面角的余弦值. 5．（2023下·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且的边长为，点在母线上，且，．    (1)求证：直线平面，并求三棱锥的体积： (2)若点为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离． 6．（2023下·重庆沙坪坝·高一校考期末）我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.如图，在菱形中，，将沿翻折，使点A到点P处.E，F，G分别为，，的中点，且是与的公垂线.      (1)证明：三棱锥为正四面体； (2)若点M，N分别在，上，且为与的公垂线. ①求的值； ②记四面体的内切球半径为r，证明：. 7．（2023下·湖北武汉·高一校考期末）如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，、分别为、的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为45°.      (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由. 8．（2023上·上海徐汇·高二南洋中学校考期末）如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在平面ABC上的投影为AC的中点D，且． (1)求点C到侧面的距离； (2)在线段上是否存在点E，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 9．（2023上·福建福州·高二校考期末）如图，在三棱锥中，，，D为棱AB上一点，，， (1)证明：平面平面ABC； (2)线段PD上是否存在点M，使直线AP与平面MBC所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 10．（2023上·北京西城·高二统考期末）如图，在四棱柱中，平面，为线段的中点，再从下列两个条件中选择一个作为已知. 条件①：；条件②：. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离； (3)已知点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 11．（2023上·四川巴中·高二校考阶段练习）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线AC的倾斜角； (2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围. 12．（2023上·广东广州·高二校联考期末）已知圆：，点. (1)若，求以为圆心且与圆相切的圆的方程； (2)若过点的两条直线被圆截得的弦长均为，且与轴分别交于点、，，求的值. 13．（2023上·湖北孝感·高二统考期末）已知圆心在轴上的圆与直线切于点. (1)求圆的标准方程； (2)已知，经过原点且斜率为正数的直线与圆交于，.求的最大值． 14．（2023上·四川广元·高二统考期末）已知圆O:,直线. (1)若圆O的弦AB恰好被点平分,求弦AB所在直线的方程; (2)点Q是直线l上的动点,过Q作圆O的两条切线,切点分别为C,D,求直线CD经过的定点; (3)过点作两条相异的直线,分别与圆O相交于E,F两点,当直线ME与直线MF的斜率互为倒数时,求线段EF的中点G的轨迹方程. 15．（2023上·四川南充·高二统考期末）某市的两条直线公路OM，ON所围成的角形区域内有一村庄，该市为响应党中央的乡村振兴战略，拟过村庄修建一条公路，使之围成一个等腰三角形区域．在区域内建设高效生态农业示范带，促进本地农村经济发展．现利用无人机在空中测得到公路OM，ON的距离均为10千米，，且．设计人员方便规划计算，在图纸上以为坐标原点，以直线为轴建立如图所示平面直角坐标系． (1)求点的坐标； (2)求出公路的长度及该示范带的总面积． 16．（2022上·辽宁·高三本溪高中校联考阶段练习）已知在平面直角坐标系中，平面内动点P满足． (1)求点P的轨迹方程； (2)点P轨迹记为曲线，若C，D是曲线与轴