6.3 平面向量基本定理及坐标表示（14种题型）讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.3 平面向量基本定理及坐标表示 1、平面向量基本定理： 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 ，，使。 若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。 2、正交分解： 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。 3、平面向量的坐标表示： 在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基底。对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，，使得。 这样，平面内的任一向量都可由，唯一确定，我们把有序数对（，）叫做向量的坐标，记作（，）。---① 其中，叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标。①叫做向量的坐标表示。 显然，=（，），=（，），=（，）。 4、要点诠释： ①向量（，）中间用等号连接，的坐标（，）既表示向量的大小，也表示向量的方向。 而点（，）中间没有等号，点（，）的坐标（，）表示点在平面直角坐标系中的位置。 ②当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同。 ③由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中，。 ④要把点的坐标与向量坐标区别开来。相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同。比如，若（，），（，），则（，）；若（，），（，），则（，） ，，显然、、、四点坐标各不相同。 ⑤（，）既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点（，）或向量（，）。 5、求向量的坐标： 已知点，，那么向量，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 6、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算： 已知，。 两个向量和（差）的坐标等于这两个向量对应坐标的和（差）。 、。 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。。 7、平面向量平行（共线）的坐标表示： 向量，（）共线的充要条件是。 8、三点共线的判断方法： ， 若，则，，三点共线。 9、平面向量数量积的坐标表示： 已知，，。 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。。 、。。 。 。 10、定比分点的坐标表示： 若我们设，是直线上两点，而点是上不同于，的任意一点，则存在一个实数，使得 ，叫作点分线段所成的比，点叫作线段以定比为的定比分点。设点为坐标原点，若（，），（，），（，），，则，所以点的坐标为。 重心坐标公式：在△中，，，，则△的重心的坐标为。 【题型1】判断两个向量能否作为基底 1．设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 2．已知、是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 3．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【题型2】用基底表示向量 1．平行四边形ABCD中，点M在边AB上，AM＝3MB，记，则（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，向量，，，A，B，C在一条直线上，且，则（　　） A． B． C． D． 3．如图，在四边形ABCD中，，，设，，则等于（　　） A． B． C． D． 4．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，AE和BD相交于点F．记，，则（　　） A． B． C． D． 5．已知△ABC为等边三角形，分别以CA，CB为边作正六边形，如图所示，则（　　） A． B． C． D． 【题型3】利用平面向量基本定理求参数 1．在△ABC中，点D是线段AC上一点，点P是线段BD上一点，且，λ，则λ＝（　　） A． B． C． D． 2．在△ABC中，点M是边AC上靠近点A的三等分点，点N是BC的中点，若，则x+y＝（　　） A．1 B． C． D．﹣1 3．如图，四边形ABCD为平行四边形，，，若，则λ+μ的值为（　　） A． B． C． D．﹣1 4．已知平面四边形ABCD满足，平面内点E满足，CD与AE交于点M，若，则等于（　　） A． B． C． D． 5．在△ABC中，点D满足，点E是线段AD上的一个动点，若，则t＝（λ﹣1）2+μ2的最小值是（　　） A． B． C． D． 【题型4】平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 1．已知平面向量，，则（　　） A．（0，1） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．1 2．已知向量，，则（　　） A．（3，0）