2024届九师联盟高三数学12月质量检测压轴选填题第16题的解法探究

2024届九师联盟高三12月质量检测联考数学压轴选填题的解法探究 第16题题目如下： 已知椭圆C：的左右焦点分别为，以线段为直径的圆与C在第一、第三象限分别交于点，若，则C的离心率的取值范围是_________. 这是一道非常不错的压轴题，命题者给出的参考答案为： 设，，因为点A在第一象限，所以. 又均在以线段为直径的圆上，所以四边形为矩形， 即.因为，所以，即. 因为，所以，即. 因为，设，则. 易知在区间上单调递增，所以，即. 当时，解得，即，解得； 当时，解得，即，即，所以. 上述解法难在构造“焦半径之比”并求出“焦半径之比的倒数和范围”，这些变形及运算，学生的确在有限时间内想到.下文笔者给出两种不同的解法，供读者参考. 法1：∵又均在以线段为直径的圆上，所以四边形为矩形，则，又由椭圆上的点对焦点的张角性质可得，， 即，即，∴； 令A，则且， 消去得 ①， 由已知得，，不妨令，则， ∵，∴，即， 又由椭圆的焦半径公式可得， ∴，即， ②， 由①、②可得，化简得， 即，∴， 综上 法1从学生熟知的椭圆张角性质，求出椭圆和圆的公共点坐标，再由焦半径公式出发，得到焦半径的范围，进而列出点横坐标的不等式，建立关于，求出离心率范围，个人认为这种方法思路较简捷，计算更顺畅. 法2：令，，由焦点三角形面积公式可得，，∴， 由法1得，则方程在上有解， 令，则 即，∴， 由关于单调递减，∴. 法2在得到焦半径（其中）的范围之后，利用焦点三角形面积公式建立焦半径的一元二次方程，进而化为方程有解问题，最后借助二次函数图象性质求解，笔者认为法2一种非常不错的解法，但让学生在圆锥曲线问题中联系方程思想求解，的确难度不小，但这也不失为一种很好的命题解题走向，值得广大师生花时间精力去学习探究. 学科网（北京）股份有限公司 $$