4.3.1一元线性回归模型导学案-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

学科 数学 年级 时间 年 月 日 课题 4.3.1一元线性回归模型 课型 课时 第1课时 主备教师 学习目标 1. 了解变量间的相关关系. 2. 会根据散点图判断数据是否具有相关关系. 3. 了解最小二乘法的思想,会求回归直线方程,并掌握回归直线方程的性质. 知识填空 知识点一 相关关系 如果两个变量之间确实有一定的关系,但没有达到可以 的程度,它们之间的关系带有一定的 ,像这样两个变量之间的关系,统计学上都称为相关关系. 知识点二 线性关系 1.散点图 一般地,如果收集到了变量x和变量y的n对数据(简称为成对数据),如下表所示. 序号i 1 2 3 … n 变量x x1 x2 x3 … xn 变量y y1 y2 y3 … yn 则在平面直角坐标系xOy中描出点(xi,yi),i=1,2,3,…,n,就可以得到这n对数据的 2.线性相关 如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知,变量x与变量y之间的关系可以近似地 用 函数来刻画,则称x与y线性相关. 3.正相关和负相关 若x与y线性相关,如果一个变量增大,另一个变量大体上也 ,则称这两个变量正相关;如果一个变量增大,另一个变量大体上 ,则称这两个变量负相关. 知识点三 回归直线方程 一般地,已知变量x与y的n对成对数据(xi,yi),i=1,2,3,…,n.任意给定一个一次函数y=bx+a,对每一个已知的xi,由直线方程可以得到一个估计值i=bxi+a,如果一次函数 =x+能使残差平方和即取得最小值,则=x+称为y关于x的回归直线方程(对应的直线称为回归直线).因为是使得平方和最小,所以其中涉及的方法称为最小二乘法。 其中,回归系数= = ,= ,= ;= 知识点四 回归直线方程=x+的性质 1.回归直线一定过点 . 2.回归系数的实际意义 ①是回归方程的 ; ②当x增大一个单位时,增大 个单位. 知识点五 相关系数 1.统计学里一般用r= = 来衡量y与x的线性相关性强弱,这里的r称为线性相关系数(简称为相关系数). 2.相关系数r具有如下性质: (1)|r|≤ ,且y与x正相关的充要条件是 ,y与x负相关的充要条件是 ; (2)|r|越 ,说明两个变量之间的线性相关性越弱,也就是得出的回归直线方程越没有价值,即方程越不能反映真实的情况;|r|越 ,说明两个变量之间的线性相关性越强,也就是得出的回归直线方程越有价值; (3)|r|=1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上. (4)当r ,说明相关性较强,拟合程度较好。 知识点三 线性相关强弱的判断方法 (1)散点图:成对数据越接近回归直线,相关性越强; (2)相关系数:绝对值越接近1,相关性越强. 知识点二 非线性回归 如果一组数据中的y与x的相关关系不是线性相关关系,就称为非线性相关关系,所得到的方程称为非线性回归方程(也简称为回归方程). 知识点三 解非线性回归分析问题的一般步骤 二.典例探究 类型一 散点图与线性相关关系 例1.对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,10),得散点图1;对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,3,…,10),得散点图2,由这两个散点图可以判断( ) A.x与y正相关,u与v正相关 B.x与y正相关,u与v负相关 C.x与y负相关,u与v正相关 D.x与y负相关,u与v负相关 类型二 回归直线方程及应用 例2.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此作了四次试验,得到的数据如下: 零件的个数x 2 3 4 5 加工的时间y(小时) 2.5 3 4 4.5 (1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图; (2)求出y关于x的回归直线方程=x+,并在坐标系中画出回归直线; (3)试预测加工10个零件需要多少时间. 练习1.某地随着经济的发展,居民收入逐年增长,该地一银行连续五年年底的储蓄存款情况如下表所示. 年份x 2015 2016 2017 2018 2019 储蓄存款额y/千亿元 5 6 7 8 10 为了计算方便,工作人员将上表的数据进行了处理,令t=x-2 014,z=y-5,得到下表. t 1 2 3 4 5 z 0 1 2 3 5 (1)求z关于t的回归直线方程; (2)通过(1)中的方程,求出y关于x的回归方程; (3)用所求的回归直线方程预测到2022年年底,该地此银行储蓄存款额可达到多少? 类型三 相关系数的性质 【例3】 (1)对相关系数r,下列说法正确的是( ) A.r越大,线性相关性越强 B.r越小,线性相关性越强 C.|r|越大,线性相关性越弱,|r|越接近0,线性相关性越强 D.|r|≤1,且|r|越接近1,线性相关性越强,|r|越接近0,线性相关性越弱 (2)对四组数据进行统计,获得如图所示的散点图,关于