6.3 专题能力提升　平面向量数量积的几种常见题型-2023-2024学年高一数学《第六章平面向量及其应用》同步讲与练（人教A版2019必修第二册）

6.3 专题能力提升　平面向量数量积的几种常见题型 知识点归纳 一、平面向量数量积的运算方法 1. 当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ(θ为非零向量a，b的夹角). 2. 当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. 3. 选择合适的基底，转化为基底去解决问题. 提示：解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补. 二、数量积的应用 1. 求模：利用公式|a|＝. 2. 求夹角：cos θ＝. 3. 判定垂直：若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 题型演练 题型一　数量积的计算 例1 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，A，D分别为x轴，y轴正半轴上的动点，过点B作BE⊥OC于点E，则|OC|·|OE|的最大值为________. 变式1 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________. 题型二　数量积的应用 例2 （1）已知向量e1与e2不共线，若实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝(　　) A.3 B.－3 C.0 D.2 （2）已知向量a＝(1，2)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则实数x等于(　　) A.－7 B.9 C.4 D.－4 （3）已知P1(0，5)，P2(2，－1)，P3(－1，4)，则向量在向量方向上的投影向量的模为(　　) A.4 B.2 C.2 D. 变式2 (1)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　　) A.a＋2b B.2a＋b C.a－2b D.2a－b (2)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则a与a＋b夹角θ的余弦值为(　　) A.－ B.－ C. D. (3)已知单位向量a，b的夹角为θ，且tan θ＝，若向量m＝a－3b，则|m|＝(　　) A. B. C. D.或 题型三　数量积与三角函数的综合问题 例3 设A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)，O为坐标原点(A，O，B不共线). (1)求证：＋与－垂直； (2)当α＝，β∈，且·＝时，求sin β的值. 变式3 已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]，若f(x)＝a·b，求f(x)的最值. 小结 题目条件给出的向量坐标中含有三角函数时，先运用向量的相关知识，得到三角函数式，然后利用三角函数的相关知识求解. 题型四　与数量积有关的新定义问题 例4 定义.若向量，向量为单位向量，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4 (多选)定义一种向量运算“⊗”：a⊗b＝ (a，b是任意的两个向量).对于同一平面内的向量a，b，c，e，下列结论一定正确的是(　　) A.a⊗b＝b⊗a B.λ(a⊗b)＝(λa)⊗b(λ∈R) C.(a＋b)⊗c＝a⊗c＋b⊗c D.若e是单位向量，则|a⊗e|≤|a|＋1 小结 向量的新定义问题就是给出一种新的概念、性质或新的运算法则，利用新概念、性质或新的运算法则来解决问题的题型，是知识迁移的一种形式.解决此类问题的关键是读懂并理解新概念及运算法则的实质，然后结合向量知识来解决. 分层作业 A基础能力提升 一、单选题 1．（2023下·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）若向量与向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·甘肃临夏·高一统考期末）在中，，，，则（    ） A． B．16 C． D．9 3．（2023下·黑龙江·高一富锦市第一中学校考阶段练习）已知，，和的夹角为，则（    ） A．12 B．3 C．6 D．3 4．（2023下·四川巴中·高一统考期中）已知向量，，，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2023下·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期中）向量，若存在整数使得方程在上有两个不同的实数根，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（2023下·河南驻马店·高一统考阶段练习）已知向量，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、多选题 7．（2023下·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考期中）已知向量则下列命题正确的是（    ） A．存在，使得 B．当时，与垂直 C．对任意，都有 D．当时，