6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时）（教学课件）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

1 第6章《计数原理》 人教A版2019选择性必修第三册 6.1.1分类加法计数原理与 分步乘法计数原理（第1课时） 1.通过实例能归纳总结出分类加法计数原理与 分步乘法计数原理; 2.正确理解“完成一件事情”的含义，能根据 具体问题的特征,选择“分类”或“分步”. 3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题. 4.核心素养:数学建模、数学运算。 学习目标 汽车号牌的序号一般是从26个英文字母、10个阿拉伯数字中选出若干个，并按适当顺序排列而成．随着人们生活水平的提高，家庭汽车拥有量迅速增长，汽车号牌序号需要扩容．那么，交通管理部门应如何确定序号的组成方法，才能满足民众的需求呢?这就需要“数(shǔ)出”某种汽车号牌序号的组成方案下所有可能的序号数，这就是计数． 日常生活、生产中类似的问题大量存在． 例如，幼儿会通过一个一个地数的方法，计算自己拥有玩具的数量； 学校要举行班际篮球比赛，在确定赛制后，体育组的老师需要知道共需要举行多少场比赛；用红、黄、绿三面旗帜组成航海信号，颜色的不同排列表示不同的信号，需要知道共可以组成多少种不同的信号…… 如果问题中数量很少，一个一个地数也不失为一种计数的好方法． 但如果问题中数量很多，我们还一个一个地去数吗? 环节一：创设情境，引入课题 在小学我们学了加法和乘法，这是将若干个“小”的数结合成“较大”的数最基本的方法． 这两种方法经过推广就成了本章将要学习的分类加法计数原理和分步乘法计数原理． 这两个原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，利用两个计算原理还可以得到两类特殊计数问题的计数公式一排列数公式和组合数公式，应用公式就可以方便地解决一些计数问题． 作为计数原理与计数公式的一个应用，本章我们还将学习在数学上有广泛应用的二项式定理． 计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法．但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高． 能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢?下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数计数方法． 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码? 探究 你能说一说这个问题的特征吗? 首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次是“或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示．因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同．这两类号码数相加就得到号码的总数． 上述计数过程的基本环节是： （1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类； （2）分别计算各类号码的个数； （3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数． 你能举一些生活中类似的例子吗？ 环节二：观察分析，感知概念 一般地，有如下分类加法计数原理： 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法， 两类不同方案中的方法互不相同． 例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表6.1-1． 表6.1-1 A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 管理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择? 分析：要完成的事情是“选一个专业”．因为这名同学在A，B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件． 解：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所．在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法．因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为 探究 如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢? 环节三：抽象概括，形成概念 这里要完成的事情仍然是“给一个座位编号”，但与前一问题的要求不同．在前一问题中，用26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个座位号码．但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤．用图6.1-1所示的方法可以列出所有可能的号码． 字母　　　　数字　得到的号码 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 树形图 我们还可以这样来思考：由于前6个英文字母的任意一个都能和9个数字中的任何一个组成一个号码,而且它