4.2.4随机变量的数字特征导学案-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

学科 数学 年级 时间 年 月 日 课题 4.2.4 随机变量的数字特征 课型 复习课 课时 第1课时 主备教师 学习目标 1. 通过具体实例，理解离散型随机变量的数学期望的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出数学期望. 2. 掌握两点分布、二项分布的数学期望. 3. 会利用离散型随机变量的数学期望解决一些相关问题. 知识填空 知识点一　离散型随机变量的均值 1．一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 则称E(X)＝ ＝xipi为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望)． 2．意义：E(X)也可用EX表示，它刻画了X的 ． 3．数学期望的运算性质 若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X为随机变量．则 ①Y也是 变量； ②E(aX＋b)＝ 知识点二　两点分布、二项分布及超几何分布的数学期望 1．两点分布：若随机变量X服从参数为p的两点分布，则E(X)＝ . 2．二项分布：若离散型随机变量X～B(n，p)，则E(X)＝ 3．超几何分布：若离散型随机变量X服从参数为N，n，M的超几何分布，则E(X)＝ . 知识点三　离散型随机变量的方差、标准差 1．方差及标准差的定义 一般地，设一个离散型随机变量X的所有可能取值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn. ①方差：D(X)＝ ②标准差： . 2．方差及标准差的意义 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差 ，随机变量的取值越集中；方差或标准差 ，随机变量的取值越分散． 3．方差的运算性质：D(aX＋b)＝ ． 知识点四　两点分布和二项分布的方差 1．若X服从参数为p的两点分布，则D(X)＝ 2．若X～B(n，p)，则D(X)＝ 二.典例探究 类型一　离散型随机变量的均值的计算及性质应用 【例1】　(数学运算)已知随机变量X的分布列如下： X －2 －1 0 1 2 P m (1)求m的值； (2)求E(X)； (3)若Y＝2X－3，求E(Y)． 练习1.已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，求a的值． 类型二　常见分布的均值 【例2】　(1)(2021·福州月考)若X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p等于(　 　) A.0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 (2)(数学建模)一次单元测试由20个选择题组成，每个选择题有4个选项，其中仅有1个选项正确，每题选对得5分，不选或选错不得分．一学生选对任意一题的概率为0.9，则该学生在这次测试中成绩的均值为 . 练习1.某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是，出现绿灯的概率都是.记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时： (1)求ξ＝2时的概率； (2)求ξ的均值． 练习2.某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客消费每满500元便得到抽奖券1张，每张抽奖券的中奖概率为，若中奖，则商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．每次抽奖互不影响． (1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列； (2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(单位：元)，用ξ表示η，并求η的数学期望． 练习3.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X. (1)求X的分布列； (2)求1件产品的平均利润(即X的均值)； (3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？ 练习4.已知某种智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第一道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为，，，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部