28.1 锐角三角函数 课件 2023—2024学年人教版数学九年级下册

28.1 锐角三角函数 第二十八章 锐角三角函数 锐角三角函数的定义 1 定义 ： 如图 28.1-1，在△ ABC 中，∠ C=90°， ∠ A 的正弦： sinA= = ∠ A 的余弦： cosA= =. ∠ A 的正切： tanA= = ∠ A 的正弦、余弦、正切统称为∠ A 的锐角三角函数 . 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A，∠ B，∠ C 的对边分别为 a， b， c. 已知 a=6， b=8，求出∠ A的三角函数值 . 例1 解：如图 28.1-2，在 Rt △ ABC 中， ∵∠ C=90°， a=6， b=8， ∴ c= = =10. ∴ sinA= ==， cosA= ==， tanA= ==. 解题秘方：紧扣“锐角三角函数的定义”求解 . 1-1. [ 中考·滨州 ] 在Rt △ ABC 中， ∠ C ＝90°， AC=5， BC＝ 12，则 sinA= ______． 1-2. [ 中考·扬州 ] 在△ ABC 中， ∠ C ＝90 °， a， b， c 分别为∠ A，∠ B，∠ C 的对边，若 b2=ac，则 sinA 的值为 _________． 在△ ABC中，∠ C=90°， sinA= ，则tanB=( ) A.            B.            C.            D.  例2 解：由 sinA= = ， 可设 BC=4k ( k>0 ) ， 则 AB=5k，根据勾股定理，得 AC=3k，∴ tanB= = = . 解题秘方：当三角形出现边与边的比时，可引入参数，用这个参数表示出三角形的三边长，再用定义求解 . 答案： B 如图 28.1-3，在等腰三角形 ABC 中， AB=AC，如果 2AB=3BC，求∠ B 的三个三角函数值 . 例3 解：过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D，如图 28.1-3， ∵ AB=AC，∴ BD=DC. 又∵ 2AB=3BC，∴ = . 解题秘方：紧扣“锐角三角函数的定义的前提是在直角三角形中”这一特征，用“构造直角三角形法”求解 . 设 AB=AC=3k ( k>0 ) ，则 BC=2k. ∴ BD=CD=k， ∴ AD = = = 8k2 =2 k. ∴ sinB= ==， cosB= = = ， tanB= ==2 . 3-1. [ 中考·连云港 ] 如图，在 6× 6 的正方形网格中，△ ABC的顶点A，B， C 都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则 sin A=_________ ． 如图 28.1-4，在△ ABC 中，∠ ACB=90°， AC=BC= 4，将△ ABC 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 D 处， EF 是折痕，若 AE=3， 则 sin ∠ BFD 的值为( ) A. B. C. D. 例4 解：∵在△ ABC 中， AC=BC=4，∴∠ A = ∠ B. 由折叠得到 DE=AE=3，∠ EDF = ∠ A，∴∠ EDF = ∠ B. ∵∠ CDF = ∠ CDE + ∠ EDF = ∠ B + ∠ BFD， ∴∠ CDE = ∠ BFD. 在 Rt △ CDE 中，∵ CE=AC－AE=1， ∴ sin ∠ CDE= = . ∴ sin ∠ BFD=. 答案：A 锐角三角函数之间的关系 2 1. 同一锐角的三角函数之间的关系： (1) 平方关系： sin2A+cos2A=1. (2) 商除关系： =tanA. 2. 互余两角的三角函数之间的关系 sinA=cos ( 90°－ ∠ A ) .  cosA=sin ( 90  － ∠ A ) . 已知α 为锐角，且 sinα = ，求 cosα ， tanα 的值 . 例5 解题秘方：紧扣“同一锐角三角函数间的关系”求解 . 解：∵ sin2α +cos2α =1，sinα = ， ∴ cos2α =1 － sin2α =1 － = . 又∵ α 为锐角，∴ 0 ＜ cosα ＜ 1，∴ cosα = ， ∴ tanα = = = . 计算： sin21° +sin22° +…+sin288° +sin289° . 例6 解题秘方：紧扣 sinα =cos( 90°－α )将原式变形，再根据 sin2α +cos2α =1 求解 . 解：原式 =sin21° +sin22° +…+sin244° + sin245° +cos244° +…+cos22° +cos21° = ( sin21° +cos21°) +( sin22° +cos