第11章 一元线性回归（课件）- 《统计学》同步教学（人民大学版·2021）

贾俊平 2023/12/25 11.1 变量间关系的度量 11.2 一元线性回归 11.3 利用回归方程进行预测 11.4 残差分析 第 11 章 一元线性回归 第 11 章 《统计学》(第 8 版) 11 - 1 2023/12/25 导 读 高尔顿(Galton)被誉为现代回归和相关技术的创始人。1875年,高尔顿利用豌豆实验来确定尺寸的遗传规律。他挑选了7组不同尺寸的豌豆,并说服他在英国不同地区的朋友每一组种植10粒种子,然后把原始的豌豆种子(父代)与新长的豌豆种子(子代)进行尺寸比较。 当结果被绘制出来之后,他发现并非每一个子代都与父代一样,尺寸小的豌豆会得到更大的子代,而尺寸大的豌豆却得到较小的子代。高尔顿把这一现象叫做“返祖”(趋向于祖先的某种平均类型),后来又称之为“向平均回归”。一个总体中在某一时期具有某一极端特征(低于或高于总体均值)的个体(或者是单个个体或者是整个子代)在未来的某一时期将减弱它的极端性,这一趋势现在被称做“回归效应”。人们发现它的应用很广,而不仅限于从上一代到下一代的豌豆大小问题。 正如高尔顿进一步发现的那样,平均来说,非常矮小的父辈倾向于有偏高的子代,而非常高大的父辈倾向于有偏矮的子代。在第一次考试中成绩最差的那些学生在第二次考试中倾向于有更好的成绩(比较接近所有学生的平均成绩),而第一次考试中成绩最好的那些学生在第二次考试中倾向于有较差的成绩(比较接近所有学生的平均成绩)。同样,平均来说,第一年利润最低的公司第二年不会最差,而第一年利润最高的公司第二年不会是最好的 父代与子代的关系 第 11 章 《统计学》(第 8 版) 11 - 1 2023/12/25 初级课程的详细信息和/或课目/项目所需的书籍/资料。 2 11.1 变量间关系的度量 函数关系 设有两个变量x和y,变量y随变量x一起变化,并完全依赖于x,当变量x取某个数值时,y依据确定的关系取相应的值,则称y是x的函数,记为y=f(x),其中x称为自变量,y称为因变量 变量间的关系——函数关系 【例11.1】设某种产品的销售额为y,销售量为x,销售价格为p,则x与y之间的关系可表示为y=px。这就是说,在销售价格不变的情况下,对于该商品的某一销售量,总有一个销售额与之对应,即销售额完全由销售量所确定,二者之间为线性函数关系 【例11.2】企业的原材料消耗额(y)与产量(x1)、单位产品消耗(x2)、原材料价格(x3)之间的关系可表示为y=x1x2x3。这里的y与x1,x2,x3之间是一种确定的函数关系,但不是线性函数关系 第 11 章 《统计学》(第 8 版) 11 - 1 2023/12/25 初级课程的详细信息和/或课目/项目所需的书籍/资料。 3 11.1 变量间关系的度量 相关关系(correlation) 变量之间存在的不确定的数量关系称为相关关系 一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定,当变量x取某个值时,变量y的取值可能有几个 相关与回归分析正是探索与描述这类变量之间关系及其规律的统计方法。 变量间的关系——相关关系 【例11.3】从遗传学角度看,子女的身高(y)与其父母身高(x)有很大关系。一般来说,父母较高时,其子女通常也比较高,父母较矮时,其子女通常也较矮。但实际情况并不完全是这样,因为它们之间不是完全确定的关系。显然,子女的身高并不完全是由父母身高一个因素所决定的,还有其他许多因素的影响,因此二者之间属于相关关系 【例11.4】考察一个人的收入水平(y)和其受教育程度(x)两个变量,它们之间不存在确定的函数关系。也就是说,受教育程度相同的人,他们的收入水平往往不同,同样,收入水平相同的人,受教育程度也可能不同。因为受教育程度尽管与一个人的收入多少有些关系,但它并不是影响收入的唯一因素,还有其他因素(如职业、工作年限等)的影响。因此,收入水平与受教育程度之间是一种相关关系 第 11 章 《统计学》(第 8 版) 11 - 1 2023/12/25 初级课程的详细信息和/或课目/项目所需的书籍/资料。 4 11.1 变量间关系的度量 相关分析 对两个变量之间线性关系的描述与度量,它要解决的问题包括 变量之间是否存在关系 如果存在关系,它们之间是什么样的关系 变量之间的关系强度如何 样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系 相关分析对总体的假定 两个变量之间是线性关系 两个变量都是随机变量 相关关系的描述与测度 进行相关分析的思路 绘制散点图来判断变量之间的关系形态 如果是线性关系,则可以利用相关系数来测度两个变量之间的关系强度 并进行相关系数进行显著性检验,以判断样本所反映的关系能否代表两个变量总体上的关系 第 11 章 《统计学》(第 8 版