数列高考常见综合题训练-2024届高三数学一轮复习

数列高考常见综合题 子数列问题包括数列中的奇偶项、公共数列以及分段数列，是近几年高考的重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列． 题型一　奇数项与偶数项 例1　(2023·南通模拟)在数列{an}中，an＝ (1)求a1，a2，a3； (2)求数列{an}的前n项和Sn. 解　(1)因为an＝ 所以a1＝2×1－1＝1，a2＝22＝4，a3＝2×3－1＝5. (2)因为an＝ 所以a1，a3，a5，…是以1为首项，4为公差的等差数列， a2，a4，a6，…是以4为首项，4为公比的等比数列． 当n为奇数时，数列的前n项中有个奇数项，有个偶数项． 所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－2＋an)＋(a2＋a4＋…＋an－3＋an－1) ＝×1＋×4＋＝＋； 当n为偶数时，数列{an}的前n项中有个奇数项，有个偶数项． 所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－3＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an－2＋an) ＝×1＋×4＋＝＋. 所以数列{an}的前n项和 Sn＝ 思维升华　解答与奇偶项有关的求和问题的关键 (1)弄清n为奇数或偶数时数列的通项公式． (2)弄清n为奇数时数列前n项中奇数项与偶数项的个数． 跟踪训练1　(2021·新高考全国Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ (1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式； (2)求{an}的前20项和． 解　(1)因为bn＝a2n，且a1＝1，an＋1＝ 所以b1＝a2＝a1＋1＝2， b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5. 因为bn＝a2n，所以bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3， 所以bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3， 所以数列{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列，bn＝2＋3(n－1)＝3n－1，n∈N*. (2)因为an＋1＝所以当k∈N*时， a2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1，即a2k＝a2k－1＋1，① a2k＋1＝a2k＋2，② a2k＋2＝a2k＋1＋1＝a2k＋1＋1，即a2k＋2＝a2k＋1＋1，③ 所以①＋②得a2k＋1＝a2k－1＋3，即a2k＋1－a2k－1＝3， 所以数列{an}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； ②＋③得a2k＋2＝a2k＋3，即a2k＋2－a2k＝3， 又a2＝2，所以数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列． 所以数列{an}的前20项和S20＝(a1＋a3＋a5＋…＋a19)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a20)＝10＋×3＋20＋×3＝300. 题型二　两数列的公共项 例2　数列{an}与{bn}的通项公式分别为an＝4n－1，bn＝3n＋2，它们的公共项由小到大排列组成数列{cn}，求数列{cn}的通项公式． 解　方法一　设ak＝bm＝cp，则4k－1＝3m＋2， 所以k＝， 因为3,4互质， 所以m＋1必为4的倍数，即m＝4p－1， 所以cp＝bm＝3(4p－1)＋2＝12p－1， 即数列{cn}的通项公式为cn＝12n－1. 方法二　由观察可知，两个数列的第一个公共项为11， 所以c1＝11. 设ak＝bm＝cp，则4k－1＝3m＋2， 所以ak＋1＝4(k＋1)－1＝4k＋3＝3m＋6＝3＋2不是数列{bn}中的项， ak＋2＝4(k＋2)－1＝4k＋7＝3m＋10＝3＋2不是数列{bn}中的项， ak＋3＝4(k＋3)－1＝4k＋11＝3m＋14＝3(m＋4)＋2是数列{bn}中的项． 所以cp＋1＝ak＋3，则cp＋1－cp＝ak＋3－ak＝3×4＝12， 所以数列{cn}是等差数列，其公差为12，首项为11， 因此，数列{cn}的通项公式为cn＝12n－1. 思维升华　解决两个等差数列的公共项问题时，有两种方法： (1)不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式； (2)周期法：即寻找下一项．通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大(如公差的绝对值大)的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律(周期)，分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式． 跟踪训练2　(1)已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝4n－2(1≤n≤100，n∈N*)，bn＝6n－4(n∈N*)，由这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列{cn}，则数列{cn}的各项之和为(　　) A．6 788 B．6 800 C．6 812 D．6 824 答案　B 解析　由题意可得a1＝b1＝2，等差数列{an}的公差为4，且a100＝398， 等差数列{bn