4.2对数与对数函数（基础题型）-【题型分层练】2023-2024学年高一数学知识梳理与题型分层精练（基础题型+强化题型）（人教A版2019必修第一册）

专题4.2 对数与对数函数 知识梳理 1.对数的概念 (1)对数的概念。 一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。 (2)常用对数与自然对数。 通常,我们将以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为lg N。另外,在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数e=2.718 28…为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数,并把logeN记作ln N。  2.对数与指数的关系 根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:当a>0,a≠1时,ax=N⇔x=logaN。 3.对数的有关结论 (1)0和负数没有对数; (2)1的对数为0,即loga1=0(a>0,且a≠1); (3)底数的对数为1,即logaa=1(a>0,且a≠1)。 4.对数的运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么: (1)loga(MN)=logaM+logaN; (2)loga=logaM-logaN; (3)logaMn=nlogaM(n∈R)。 5.对数换底公式 (1)logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1)。 (2)对数换底公式常见的两种变形。 ①logab·logba=1,即=logba,此公式表示真数与底数互换,所得的对数值与原对数值互为倒数。 ②loMm=logNM,此公式表示底数变为原来的n次方,真数变为原来的m次方,所得的对数值等于原来对数值的倍。 6.对数函数的概念 函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞)。 7.特殊的对数函数 常用对数函数 以10为底的对数函数y=lg x 自然对数函数 以无理数e为底的对数函数y=ln x 7.对数函数的图象及性质 0<a<1 a>1 图象 定义域 (0,+∞) 值域 R 性质 定点 (1,0),即x=1时,y=0 单调性 在(0,+∞)上是减函数 在(0,+∞)上是增函数 8.反函数 一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换。 例题精讲 对数的定义 在对数式中，实数的取值范围是 　　　　　　　． 在对数式中，实数的取值范围是 　　　　　　　． 若对数存在，则的取值范围为　　　　　　　． 对数式中实数的取值范围是　　 A． B． C．，， D． 指数对数互换 将下列指数式与对数式互化： （1）； （2）； （3）； （4）且，． 把下列对数式写成指数式： （1）； （2）； （3）； （4）． 把下面指数式写成对数式： （1）； （2）； （3）； （4）． 先将下列式子改写指数式，再求各式中的值． ① ②． 求下列各式中的值： （1）； （2）． 求下列各式中的值： （1）； （2）； （3）． 求下列各式中的值： （1）； （2）； （3）． 对数运算 　　 A． B．100 C． D．2 现有下列计算式：①；②；③；④；⑤．其中正确的是　　 A．①②④ B．②③ C．③④⑤ D．④⑤ （1）计算：． （2）解不等式：． 计算： （1）； （2）． 计算下列各式的值： （1）； （2）． 若，，则等于　　 A． B． C． D． 设，，都是正数，且，那么下列关系正确的是　　 A． B． C． D． 已知，，则　　 A． B． C． D． 设，且，则　　 A． B．10 C．100 D．1000 已知，，则　　 A． B． C． D． （1）已知，，用、表示； （2）已知，，，，，求的值； （3）已知，试用表示； （4）已知，，试用、表示求． 对数函数的相关概念 下列函数是对数函数的是　　 A． B． C． D． 下列函数表示式中，是对数函数的有　　 ①； ②； ③； ④； ⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 对数表达式中的的取值范围是　　　　　　　． 函数的定义域为　　　　　　． 函数的定义域为　　 A．， B．， C．，， D．，， 函数的定义域为　　 A． B． C． D． 已知对数函数的图象过点，则（4）的值为　　 A．1 B．2 C． D．8 若函数为对数函数，则　　 A．1 B．2 C．3 D．4 函数为对数函数，则等于　　 A．3 B． C． D． 对数函数的实际应用 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为．已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为　　 A． B．10.1 C． D． 17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即