5.2.1基本初等函数的导数课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

基本初等函数的导数 例1 求下列函数的导数: (3) y＝3 x 3 2. 求下列函数在给定点处的导数: 解： 4 3. C B 4. 已知曲线C：y＝f(x)＝x3＋x. (1)求曲线C在点(1，2)处切线的方程； (2)设曲线C上任意一点处切线的倾斜角为α，求α的取值范围． 6 求曲线在某点处的切线方程的步骤 7 变式 若直线y=4x+b是函数y=x2图象的切线，求b以及切点坐标. 求曲线y＝ln x的过点O(0,0)的切线方程. 8 求曲线y＝ln x的过点O(0,0)的切线方程. 9 解　∵O(0,0)不在曲线y＝ln x上. ∴设切点Q(x0，y0)， 解: 11 12 例3、已知曲线 在点P(1,1)处的切线与直线m平行且距离等于 ,求直线m的方程. 设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公式得: 故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0. 例题分析 求过曲线y=cosx上点 且与过这点的切线垂直的直线方程. 练习巩固 曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴、 直线x＝2所围成的三角形的面积． 练习巩固 练习巩固 例3、已知P(-1,1)，Q(2,4)是曲线y=x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。 例题分析 【思维总结】对于教材中出现的八个基本初等函数的导数公式，要在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是理解，如 是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现 这样的错误结果．二是准确记忆． 基本初等函数的导数公式 1. 若，则 2. 若 3. 4. 5. 特别地 ，若 6. 解：(1)∵f′(x)＝3x2＋1，∴所求切线斜率为k＝f′(1)＝3×12＋1＝4. ∴曲线C在点(1，2)处的切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0. (2)∵k＝f′(x)＝tan α，∴tan α＝3x2＋1≥1. 又α∈[0，π)，∴α∈. 求抛物线f(x)＝x2过点的切线方程． 又∵此切线过点和点(x0，x)， ∴x－5x0＋6＝0，解得x0＝2或x0＝3，因此切点为(2，4)或(3，9)， ∴切线方程分别为y－4＝4(x－2)或y－9＝6(x－3)， 即4x－y－4＝0或6x－y－9＝0. 变式 求抛物线f(x)＝x2过点的切线方程． 解：由于点不在抛物线上，所以可设切点为(x0，x). ∵f′(x)＝2x，∴该切线的斜率为k＝2x0. ∴＝，即x0＝e，∴Q(e,1)，∴k＝， ∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0. 则切线的斜率k＝. 又切线的斜率k＝＝， 变式 已知点P是曲线y＝x2上任意一点，求点P到直线2x ‒ y ‒ 5＝0的最小值． 5.已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由． 解：由于y＝sin x，y＝cos x，设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)． ∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为：k1＝cos x0，k2＝－sin x0. 若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1， 即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的． ∴两条曲线不存在公共点， 使在这一点处的两条切线互相垂直． $$