2023年中考数学专题复习：几何模型培优训练

中考数学几何模型1：截长补短模型 有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系. 这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解. 所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系. 所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等. 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系. 有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解. 例题1 如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上． 求证：（1）BE⊥CE；（2）BC=AB+CD． 【解析】证明：如图所示： （1）∵BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，∴∠1=∠2，∠3=∠4， 又∵AB∥CD，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°， ∴∠2+∠3=90°，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CE． （2）在BC上取点F，使BF=BA，连接EF． 在△ABE和△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴∠A=∠5． ∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠5+∠D=180， ∵∠5+∠6=180°，∴∠6=∠D， 在△CDE和△CFE中，，∴△CDE≌△CFE（AAS），∴CF=CD． ∵BC=BF+CF，∴BC=AB+CD， 变式1 已知△ABC的内角平分线AD交BC于D，∠B=2∠C. 求证：AB+BD=AC. 答案：略 例题2 已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由． 【解析】在BC上取点G使得CG=CD， ∵∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣60°）=120°，∴∠BOE=∠COD=60°， ∵在△COD和△COG中，，∴△COD≌△COG（SAS），∴∠COG=∠COD=60°， ∴∠BOG=120°﹣60°=60°=∠BOE， 在△BOE和△BOG中，，∴△BOE≌△BOG（ASA），∴BE=BG，∴BE+CD=BG+CG=BC． 变式2 已知：△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ADB=90°﹣∠BDC．试判断线段CD、BD与AB之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【解析】AB=BD+CD， 理由是：延长CD到E，使DE=BD，连接AE， ∵∠ADB=90°﹣∠BDC， ∴∠ADE=180°﹣（90°﹣）﹣∠BDC=90°﹣，∴∠ADB=∠ADE， 在△ABD和△AED中，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠E=∠ABD=60°，AB=AE， ∵AB=AC，∴AE=AC，∴△ACE是等边三角形，∴AB=CE=CD+DE=BD+CD． 例题3 如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：DA平分∠CDE 【解析】连接AC，延长DE到F，使EF=BC，连接AF，∵BC+DE=CD，EF+DE=DF，∴CD=FD， ∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°，∴∠ABC=∠AEF， 在△ABC和△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴AC=AF， 在△ACD和△AFD中，，∴△ACD≌△AFD（SSS）∴∠ADC=∠ADF，即AD平分∠CDE 变式3 如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明． 【解析】CN=MN+BM（微信公众号：数学三剑客） 证明：在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°， 又△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴BD=DC，∠DBC=∠BCD=30°， ∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°， 在△MBD和△ECD中，，∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠MDB=∠EDC， 又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°， ∴∠EDN=∠BDC﹣（∠BDN+∠EDC）=∠BDC﹣（∠BDN+∠MDB）=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°， ∴∠MDN=∠EDN， 在△MND与△END中，，∴△MND≌△END（SAS），∴MN=NE，∴CN=NE+CE=MN+BM 例题4 在四边形ABDE中，C是BD边的中点． （1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为 AE=AB+DE　；（直