5.1 三角形与圆（讲+练）-【中职专用】初升高数学无忧衔接（通用版）

第五章 平面几何 5.1三角形与圆 课程要求 初中要求 理解三角形与圆的概念与性质，能解决与三角形与圆在关的问题. 高中要求 在初中锐角三角函数基础上定义高中任意角三角函数，在解直角三角形基础上掌握正正余弦定理，三角形与圆的知识为高中立体几何和解析几何学习作准备. 知识回顾 一、三角形 1．三角形相关概念与性质： （1）三角形的定义 由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接所得到的图形叫三角形． （2）三角形的分类 (1)按角分：三角形 （2按边分：三角形 （3）三角形三边关系 三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边． （4）三角形内角和、外角与内角的关系 三角形内角和等于180；一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；一个外角大于任何一个与它不相邻的内角． （5）三角形中位线 定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线． 性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 2．等腰三角形： （1）概念有两条边相等的三角形是等腰三角形． （2）性质 ①等腰三角形是轴对称图形，一般有一条对称轴． ②性质1：等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）． ③性质2：等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的高线、底边上的中线相互重合（简称“三线合一”）． （3）判定①两边相等的三角形是等腰三角形．②等角对等边． 3．等边三角形: （1）概念有三条边相等的三角形是等边三角形． （2）性质 ①等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴 ． ②等边三角形三边相等，三角相等，且每个角都等于60°． （3）判定 ①三条边都相等的三角形是等边三角形． ②三个角都相等的三角形是等边三角形． ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 4．直角三角形: （1）概念有一个角是90°的三角形叫做直角三角形． （2）性质 ①直角三角形的两个锐角互余 ．②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． ③在直角三角形中，如果有一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． ④勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即． （3）判定 ①有一个角是90°的三角形是直角三角形． ②如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． ③勾股定理的逆定理：如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 5．锐角三角函数定义： 在Rt△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA=，∠A的余弦可表示为cosA=，∠A的正切：tanA=，它们统称为∠A的锐角三角函数． （1）sinA、cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与∠A的大小有关，与直角三角形的边长无关； （2）取值范围0<sinA<1，0＜cosA<1， tanA＞0． 6．特殊角的三角函数值： 30° 45° 60° sin cos tan 1 （1）三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的，要在理解的基础上结合表格进行记忆； （2）正弦和正切值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小； （3）几个特殊关系： ①sin2A+cos2A= 1，tanA=； ②若∠A+∠B=900，则sinA=cosB，tanA×tanB=1． 二、圆 1．圆的定义 　　(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. 　　(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 要点： 　 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 　②圆是一条封闭曲线. 2．圆的性质 　　(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 　　 　在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. 　　(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 　　(3)垂径定理及推论： 　　 　①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　 　②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　 　③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. 　　 　④平分一条弦所对的两条