27.1.3圆周角 圆心角和圆周角定理及推论的应用讲义2023-2024学年华东师大版九年级数学下册

圆心角和圆周角定理及推论的应用 一、知识要点 （一）圆心角 1.定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。 2.圆心角定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 3.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优孤或劣弧。 4.正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中：①圆心角相等；②所对的弧相等；③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等。这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合。 （二）圆周角 1.圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角。 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可。 2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 3.在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握。 4.注意： ①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化； ②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”一圆心角转化； ③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角。 二、题型： （一）求圆心角、圆周角的大小 （Ⅰ）利用弧、弦、圆心角的关系求解 1.如图，、、、是上的点，如果，，那么 ．    2.如图半径将一个圆分成三个大小相同扇形，其中是的角平分线，，则等于（　　） A． B． C． D． 3. 如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． （Ⅱ）利用同弧或等弧所对圆周角的关系求解 1. 如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2. 如图，在中，为直径，C为圆上一点，的角平分线与交于点D，若，则______°．    3．如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，，则（    ）    A． B． C． D． （Ⅲ）利用同弧或等弧所对圆周角与圆心角的关系求解 1．如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接．若，则的度数可能是（    ）    A． B． C． D． 3．如图，是的直径，点C，D在上，连接，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4． 如图，切于点B，连接交于点C，交于点D，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 5．如图，在中，，则的度数为___________．    6．如图，已知点在上，为的中点．若，则等于（　　）    A． B． C． D． 7．如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． （Ⅳ）利用圆内接四边形中角的关系求解 1．如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，点A、B、C都在上，如果，那么的度数为 ． 3．如图，点A，B，C，D，E都是上的点，，，则 ．      4．如图，分别与相切于两点，且．若点是上异于点的一点，则的大小为___________．    （二）证明弦相等 1．已知：如图，在中，．求证：． 2．已知：如图，在中，，与相交于点M．求证：    (1)； (2)． （三）证明角相等 1．如图，、是上的两点，是弧中点．求证：． 2．如图，都是的半径，．    (1)求证：； (2)若，求的半径． （四）证明弧相等 1. 如图，已知的半径 ，， 在上， 于点 ， 于点 ，且 ，求证：．    2．如图，中，弦与相交于点E，，连接．    (1)求证：； (2)求证：． 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆心角和圆周角定理及推论的应用 一、知识要点 （一）圆心角 1.定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。 2.圆心角定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 3.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆