5.1.2导数的概念及其几何意义（第二课时）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.2 导数的概念及其几何意义 第二课时 复习回顾 1. 平均变化率 函数y＝f(x) 从x0到x0＋∆x的平均变化率 2. 导数的定义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率) 导数就是平均变化率的极限. 3.求函数 y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤 简单的说导数就是差商的极限. 注意：这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式. 学习新知 　　我们知道，导数f ´(x0) 表示y＝f (x) 在 x ＝ x0 处的瞬时变化率，反映了函数y＝f (x)在 x＝x0附近的变化情况．那么导数f ´(x0)的几何意义是什么？ 观察函数y＝f (x)的图象，平均变化率 表示什么？ 瞬时变化率 表示什么？ 容易发现，平均变化率 表示割线PP0的斜率． x y x0 x0+∆x f(x0) f(x0+∆x) y=f(x) O P • P0 T • f(x0+∆x)-f(x0) 如图，在曲线y＝f (x)上任取一点 P(x, f (x)) ，如果当点P(x, f (x))沿着曲线 y＝f (x)无限趋近于点P0(x0, f (x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线P0T 称为曲线y＝f (x)在点 P0 处的切线. x y O y＝f (x) f (x0) x0 T 切线的定义： P0 P 思考：此处的切线定义与初中学过的圆的切线定义有什么不同？ 　　这里曲线的切线是用曲线上的动点趋近于一个定点时，割线趋近的一个固定位置，是以逼近的方式对切线作出的定义．初中学过的圆的切线是从直线和圆的公共点个数的角度定义的． 割线 切线 5 与问题2中抛物线的割线和切线之间关系类似，容易知道，割线P0P的斜率 记∆x=x -x0 ，当点P沿着曲线y＝f (x)无限趋近于点P0时，即当∆x→0 时， k无限趋近于函数y＝f (x)在x＝x0处的导数．因此，函数y＝f (x)在x＝x0处的导数 f ′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即 这就导数的几何意义． P0 P o x y y=f(x) 割线 切线 T 这个几何意义: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数. 圆的切线定义并不适用于一般的曲线．通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线适用于各种曲线. 所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质． 要注意,曲线在某点处的切线: (1)与该点的位置有关; (2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解．如有极限,则在此点有切线，且切线是唯一的；如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个,甚至可以无穷多个. 继续观察下图，可以发现P0点的切线比任何一条割线更贴近点P0附近的曲线．进一步地，利用信息技术工具将点附近的曲线不断放大(图5.1-5)，可以发现点P0附近的曲线越来越接近于直线．因此，在点P0附近，曲线y＝f (x)可以用点处的切线P0T近似代替．➊ P0 P o x y y=f(x) 割线 切线 T ➊数学上常用简单的对象刻画复杂的对象，例如，用有理数3.1416近似代替无理数π，这里，我们用曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线，这是微积分中重要的思想方法——以直代曲． t1 h t0 O • • t2 • t 例1 如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t +11的图象. 根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t=t0, t1, t2附近的变化情况. l2 l1 l0 解: (1)当t=t0时, 曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴, h'(t0)=0. 这时, 在t=t0附近曲线比较平坦, 几乎没有升降. (2)当t=t1时, 曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率h'(1)<0. 这时, 在t=t1附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t1附近单调递减. (3)当t=t2时, 曲线h(t)在t=t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0. 这时,在t=t2附近曲线下降,即函数h(t)在t=t2附近也单调递减. 从图中可以看出, 直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度, 这说明曲线h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢. 斜率的正负：增减趋势 斜率的大小：增