5.1.2 导数的概念及其意义课件(第一课时)-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.2 导数的概念及其几何意义 第一课时 复习引入 1.两类变化率问题: (1)高台跳水运动员的速度 平均速度 瞬时速度 (2)抛物线的切线斜率 割线斜率 切线斜率 这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也有一样的表示形式．下面我们用上述思想方法研究更一般的问题． 2.问题：在“高台跳水运动员的速度”和“抛物线的切线的斜率”两个问题中，都涉及下列形式的极限 ① 并且发现，对于定义域中自变量的某个取值x=x0，①式都是一个常数．如果函数y=f(x)是一般的函数，①式是否也是一个常数？ 如果①式也是一个常数，这个常数有怎样的意义？ 探究新知 探究:设函数f(x) =2x2，思考并回答上述问题. 追问1：若函数f(x) =ax2+bx+c呢？ 4 追问2：若函数f(x) =|x|，x0=0 呢？ 通过对不同函数的探究发现，尽管对很多函数而言，①式是一个常数；但并不是对所有的函数， ①式都是一个常数. ① x y O 1 2 1 2 3 4 -1 -2 f (x)＝| x | 如果对函数y=f(x)的自变量的某个取值x=x0，下式 是一个常数，你能说出这个常数的意义吗？ 结合“高台跳水运动员的速度”和“抛物线的切线的斜率”两个问题思考. 1. 平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋∆x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋∆x). 这时，x的变化量为∆x，y的变化量为 ∆y＝f(x0＋∆x)－f(x0). 我们把比值 ，即 叫做函数y＝f(x) 从x0到x0＋∆x的平均变化率. 类似地，运用上述思想我们可以定义函数y=f(x)的平均变化率和瞬时变化率: 如果 是一个常数，那么这个常数就是微积分中的导数. 请尝试给出导数的定义！ 2. 导数的定义 如果当∆x→0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作 或 ，即 导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达. (1)f ′(x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同； (2)f′(x0)与∆x的具体取值无关； (3)瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称； 问题：根据导数的定义，我们再来重温前面2个问题情境，你能用导数重述跳水运动员速度问题和抛物线切线问题的结论吗？ 问题1中运动员在t=1时的瞬时速度为v(1)就是函数h(t)在t=1处的导数h′(1)，即 问题2中抛物线f(x)＝x2在点P0(1, 1)处的切线P0T的斜率k0就是函数f(x)＝x2在x＝1处的导数f′(1)，即 实际上，导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率，如效率、交变电流、比热容等． (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．(　　) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(　　) (3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．(　　) (4)函数在某一点处的导数是一个可以变化的数. (5)导数就是瞬时速度. (　　) (6)因为导数是平均变化率的极限，所以函数在其定义域内都有导数. (　　) 概念辨析 (正确的打“√”，错误的打“×”) 例1　已知函数f(x)＝x2， (1)计算函数f(x)从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为 ①2；②1；③0.1；④0.01； (2)当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 概念应用 求平均变化率可根据定义将相应量代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，求平均变化率的主要步骤如下： 归纳提升 巩固练习 例2. 解： 概念应用 求函数 y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤: 归纳提升 例3.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为 计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 解：在第2 h和6 h时，原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和 f ′(6). 所以 分析：原油温度在第2 h时的瞬时变化率，从数学角度求的是什么？ 追问： 和