1.4　角平分线的性质 同步练习-2023-2024学年湘教版数学八年级下册

第1章　直角三角形 1.4　角平分线的性质 基础过关全练 知识点1　角平分线的性质 1.如图,OP为∠AOB的平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,则下列结论错误的是(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.PC=PD B.∠CPO=∠DOP C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD 第1题图 第2题图 2.【教材变式·P26T2】如图,OP平分∠AOB,PD⊥OA于点D,点E是射线OB上的一个动点,若PD=3,则PE的最小值(　　) A.等于3 B.大于3 C.小于3 D.无法确定 3.(2023湖南邵阳绥宁期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,BD=10,DE的长为点D到AB的距离,则CD的长度为(　　) A.8 B.5 C.6 D.4 4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BE=FC.求证:BD=DF. 知识点2　角平分线的判定 5.(2023湖南怀化二模)如图,在△ABC中,∠C=90°,用直尺和圆规在边BC上确定一点P,使点P到边AC、AB的距离相等,则符合要求的作图痕迹是(　　) A B C D 6.【新独家原创】如图,直线l、l'、l″表示三条相互交叉的公路,湖南某物流公司计划建一个物流中转站,要求它到三条公路的距离相等,那么符合要求的中转站的位置有(　　) A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 7.(2022湖南岳阳临湘期中)如图,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,F、G分别是OA、OB上的点,且PF=PG,DF=EG. 求证:OC平分∠AOB. 能力提升全练 8.(2023湖南常德鼎城期末,5,★★☆)如图,在△ABC中,AD为 △ABC的角平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,△ABC的面积是10 cm2,AB=6 cm,AC=4 cm,则DE的长为(　　) A.5 cm B.2.5 cm C.2 cm D.1 cm 9.(2021湖南常德中考,14,★☆☆)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,若CD=3,BD=5,则BE的长为　　　　.  10.(2022黑龙江牡丹江中考,17,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,AC=6,BC=8,则CD=　　　　.  11.(2022湖南永州蓝山期中,13,★★☆)如图所示的是一个风筝骨架.为使风筝平衡,须使∠AOP=∠BOP.我们已知PC⊥OA,PD⊥OB,那么PC和PD应满足　　　　,才能保证OP为∠AOB的平分线.  12.【方程思想】(2023贵州铜仁石阡期中,22,★★☆)如图,在△ABC中,∠ACB、∠ABC的平分线l1、l2相交于点O. (1)求证:点O在∠BAC的平分线上; (2)连接OA,若AB=AC=5,OB=4,OA=2,求点O到BC边的距离. 素养探究全练 13.【几何直观】已知∠DAB=120°,AC平分∠DAB,∠B+∠D=180°. (1)如图①,当∠B=∠D时,求证:AB+AD=AC; (2)如图②,当∠B≠∠D时,猜想(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由. 图① 图② 第1章　直角三角形 1.4　角平分线的性质 答案全解全析 基础过关全练 1.B　∵OP为∠AOB的平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,∴PC=PD,在Rt△OPC和Rt△OPD 中,∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL),∴∠CPO=∠DPO,∴选项B错误.故选B. 2.A　过P点作PH⊥OB于H,如图,∵OP平分∠AOB,PD⊥OA,PH⊥OB,∴PH=PD=3,∵点E是射线OB上的一个动点,∴点E与点H重合时,PE有最小值,最小值为3. 故选A. 3.B　∵DE的长为点D到AB的距离,∴DE⊥AB, 又∵AD是△ABC的角平分线,∠C=90°,∴CD=DE,∵∠B=30°,BD=10,∴CD=DE=BD=5.故选B. 4.证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°, ∴DC=DE, 在△DCF和△DEB中, ∴△DCF≌△DEB(SAS), ∴BD=DF. 5.C　∵P到边AC、AB的距离相等,∴点P在∠A的平分线上.故选C. 6.D　如图所示,符合要求的中转站的位置有4处. 7.证明:在Rt△PFD和Rt△PGE中, ∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL), ∴PD=PE, ∵P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB, ∴OC平分∠AOB. 能力提升全练 8.C　∵AD为△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∴DE=DF, ∵△ABC的面积是10 cm2,AB=6 cm,AC=4 cm,∴S△ABC=AB·DE+AC·DF=10, 即×6×DE+×