专题09 等比数列九个重难点归类-2023-2024学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019）

专题09等比数列九个重难点归类 一、等比数列 1．等比数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比． 注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0； （2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数. 2．等比中项 如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，此时． 3．等比数列的通项公式及其变形 首项为，公比为的等比数列的通项公式是． 等比数列通项公式的变形：． 4．等比数列与单调性 当或时，是递增数列； 当或时，是递减数列； 当时，为常数列； 当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号． 二、等比数列的前n项和公式 首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为 三、等比数列及其前n项和的性质 若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质： （1）若，则；若，则． 推广：若，则． （2）若成等差数列，则成等比数列． （3）若项数为，则，若项数为，则． （4）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零． 【重难点一 利用等比数列的定义求通项公式】 例1．在数列中，是以3为公比的等比数列，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2．设为数列的前项积，若，且，当取得最小值时，（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 首项为，公比为的等比数列的通项公式是 【跟踪练习】 练习1．数列满足：，若，则 . 练习2．已知数列中，，则数列的通项公式为 . 练习3．已知数列的前项之和为，满足，且，则时， ． 练习4．已知数列的首项，且，那么 ；数列的通项公式为 . 【重难点二 等比数列的证明】 例3．（多选）已知数列满足，，，则（    ） A．当且时，是等比数列 B．当时，是等比数列 C．当时，是等差数列 D．当且时，是等比数列 例4．已知数列满足，点在直线上. (1)求证：数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)求满足的的取值构成的集合. 一般用定义法判断一个数列是等比数列：若数列满足(为常数且不为零)或为常数且不为零),则数列是等比数列. 【跟踪练习】 练习1．在数列中，．若命题，命题是等比数列，则p是q的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 练习2．已知数列满足，． (1)求的值； (2)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式． 练习3．已知各项均为正数的数列满足，且． (1)若，求证是等比数列； (2)求的通项公式． 练习4．数列的前n项和为，，. (1)设，求证：是等比数列； (2)设，求证：是等比数列. 【重难点三 通项公式与求和公式基本量的计算】 例5．记为等比数列的前项和．若，则（    ） A．24 B．12 C．6 D．3 例6．设正项等比数列的前项和为，若，则 ． （1）在等比数列的五个量中,已知其中的三个量,通过解方程组,就能求出另外两个量； （2）在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比或进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论. 【跟踪练习】 练习1．已知正项等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 练习2．已知等比数列的前项和为，，，则（   ） A．29 B．31 C．33 D．36 练习3．设为等比数列的前项和，且，则（    ） A． B． C．或 D．或 练习4．已知正项等比数列中，，为前n项和，，则 ． 【重难点四 由求等比数列的通项公式】 例7．已知等比数列的前项和（为常数），则的值为（    ） A． B． C．-1 D．1 例8．已知数列 的前 项和 满足，则 （    ） A．511 B．512 C．1023 D．1024 用消，然后得到等比关系，然后利用等比数列的定义即可得到通项公式 【跟踪练习】 练习1．设为数列的前项和，若，，则下列各选项在正确的是（    ） A． B． C． D． 练习2．已知等比数列的前项和为，则 ． 练习3．记为数列的前项和.若，则 . 练习4．已知等比数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【重难点五 等比中项及其应用】 例9．已知等比数列的前项积为，若，则（    ） A． B． C． D． 例10．已知等差数列，其前项和为，若，且满足，，成等比数列，则等于（    ） A．或 B． C． D．2 （1）由等比中项的定义可知,所以只有同号时, 的等比中项有