6.2.4　向量的数量积第二课时-2023-2024学年高一数学《第六章平面向量及其应用》同步讲与练（人教A版2019必修第二册）

6.2.4　向量的数量积 第二课时 知识点归纳 向量数量积的运算律 (1)a·b＝ (交换律). (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝ (结合律). (3)(a＋b)·c＝ (分配律). 提示：(1)a·b＝b·c推不出a＝c； (2)(a·b)c≠a(b·c)，它们表示不同的向量. 题型演练 题型一　平面向量的数量积 例1 已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，b方向的单位向量为e. (1)求a·b与(a－2b)·(a＋b)的值； (2)求a在b上的投影向量. 小结　1.运用a·b＝|a||b|cos θ计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，求解时要灵活运用数量积的运算律. 2.若所求向量的模与夹角未知，应先选取已知模与夹角的两个向量，表示出所求向量，再代入运算. 变式1 (1)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　) A.4 B.3 C.2 D.0 (2)如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，E，F分别为BC，CD的中点，则·＝(　　) A. B.－ C. D.－ 题型二　向量模的计算 例2 已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，那么向量a－4b的模为(　　) A.2 B.2 C.6 D.12 小结　1.利用向量的数量积求模是数量积的重要应用，a2＝|a|2是计算的依据. 2.根据平面图形求向量的模时，注意利用图形的性质对向量的数量积或者夹角等进行转化. 变式2 已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝(　　) A.6 B.4 C. D. 题型三　向量的夹角与垂直 类型1　求两向量的夹角 例3 已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且(4a－b)·(a＋3b)＝2，则向量a，b的夹角θ为(　　) A. B. C. D. 小结　1.求向量夹角的基本步骤： 2.求向量的夹角，还可以结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解. 类型2　利用数量积解决向量的垂直问题 例4 已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，c＝a＋5b，d＝ma－2b.求实数m为何值时，c与d垂直. 变式3 已知a，b是非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时，求证：b⊥(a＋tb). 总结 1.重要思想与方法 (1)求向量的数量积要灵活应用其运算律，求向量的夹角与模时，则要灵活应用夹角公式和模的计算公式. (2)用向量解决夹角与垂直问题，常利用数形结合的思想方法. 2.易错易混点提醒 要注意数量积不满足结合律. 分层作业 A基础能力提升 一、单选题 1．（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）设非零向量，满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·新疆喀什·高一统考期末）已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（2023下·河北石家庄·高一校考期中）在中，若，则的形状是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 4．（2023下·天津和平·高一统考期末）已知平面向量，且与的夹角为，则（    ） A．12 B．16 C． D． 5．（2023下·山东泰安·高一泰安一中校考期中）已知，，若，则（    ） A． B． C． D．4 6．（2023下·全国·高一期末）下列关于向量，，的运算，一定成立的有（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2023下·浙江金华·高一校联考阶段练习）已知向量满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．，有恒成立 D．若，则 8．（2023下·四川自贡·高一统考期中）已知，下述结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（2023·全国·高一随堂练习）若，，且，则与的夹角为 ； 10．（2023下·上海宝山·高一校考期中）设向量、满足，，且，则 ． 11．（2023下·贵州安顺·高一统考期末）已知平面非零向量与的夹角为，若，则 . 12．（2023下·福建·高一福建师大附中校考期末）在中，，.若点D在边BC上，且满足，则 . 四、问答题 13．（2023下·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）已知，，与的夹角是. (1)计算； (2)当k为何值时，？ 14．（2023·全国·高一课堂例题）如图，是等边三角形，边长为2，P是平面上任意一点．求的最小值．    15．（2023下·江