6.2.4　向量的数量积第一课时-2023-2024学年高一数学《第六章平面向量及其应用》同步讲与练（人教A版2019必修第二册）

6.2.4　向量的数量积 第一课时 知识点归纳 一、两向量的夹角 1.定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量＝a，＝b，则 叫做向量a与b的夹角. 2. 当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b . 如果a与b的夹角是，我们说a与b ，记作 . 提示：(1)两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为. (2)两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角. 二、两个向量的数量积 1. 平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ . 规定：零向量与任一向量的数量积为 . 2. 向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 ①a·e＝e·a＝ . ②a⊥b⇔a·b＝ . ③当a与b同向时，a·b＝ ；当a与b反向时，a·b＝ ，特别地，a·a＝ 或|a|＝. ④|a·b|≤|a|·|b|(当且仅当向量a，b共线时，等号成立). ⑤cos θ＝. 提示：(1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写. (2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0. (3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量. (4)|a|＝是求向量的长度的工具. (5)沟通了向量运算与数量之间的关系. 三、投影向量 投影向量 如图(1)，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，这种变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. 　　 图(1)　　　　　　　图(2) 如图(2)，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则 就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝ . 提示：(1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量. (2)如果向量a与向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性. 题型演练 题型一　两向量的夹角 例1 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 小结　(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出. (2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ. 变式1 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 题型二　两向量的数量积 例2 (1)在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·的值等于(　　) A.－2 B.2 C.－2 D.2 (2)已知向量a，b均为单位向量，a·b＝，则a与b的夹角为________. 小结　定义法求平面向量的数量积 若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a|·|b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件. 变式2 已知正三角形ABC的边长为1，求： (1)·；(2)·； (3)·. 题型三　投影向量 例3 已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝12，b方向上的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为________. 小结　任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cos θ e(θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量). 变式3 (1)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b方向上的投影向量是(　　) A.－4e B.4e C.－2e D.2e (2)已知a·b＝16，e为b方向上的单位向量.若a在b上的投影向量为4e，则|b|＝________. 总结 1.重要思想与方法 (1)计算向量的数量积与投影向量要紧扣其定义进行. (2)在求向量的夹角时要结合具体的图形，应用数形结合的思想方法. 2.易错易混点提醒 (1)向量夹角共起点. (2)a·b>0⇒/ 两向量的夹角为锐角，a·b<0⇒/ 两向量的夹角为钝角. 分层作业 A基础能力提升 一、单选题 1．（2023下·河南省