5.1 导数的概念及其意义（6大题型）精讲-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第二册）

5.1 导数的概念及其意义 重点：1、理解函数的平均变化率、瞬时年化率；2、理解导数的概念，会利用导数定义求函数在某点出的导数； 难点：1、理解导数的几何意义，会求曲线上某点出的切线方程 一、物体的平均速度与瞬时速度 1、平均速度 设物体的运动规律是，则物体在到这段时间内的平均速度为 2、瞬时速度 （1）物体在某一时刻的速度称为瞬时速度； （2）一般地，当无限趋近于0时，无限趋近于某一个常数，我们就说当趋近于0时，的极限就是，这时就是物体在时的瞬时速度， 即瞬时速度 二、导数的平均变化率 函数从到的平均变化率 1、定义式： 2、实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． 3、意义：刻画函数值在区间上变化的快慢． 4、平均变化率的几何意义： 设，是曲线上任意不同的两点， 函数的平均变化率为割线AB的斜率，如图． 【注意】Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． 5、求平均变化率的步骤： 第一步：先计算函数值的改变量； 第二步：再计算自变量的改变量； 第三步：求平均变化率； 三、函数在x＝x0处的瞬时变化率 1、瞬时变化率的定义 定义式 实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值 作用 刻画函数在某一点处变化的快慢 【注意】 （1）“无限趋近于0”的含义趋于0的距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数，且始终. （2）“函数在的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系 “函数在处的导数”是一个数值，是针对而言的，与给定的函数及的位置有关，而与无关；“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与，无关． 2、瞬时变化率的变形形式 四、导数的几何意义 1、切线的定义：当趋于零时，点B将沿着曲线趋于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l，直线l和曲线在点A处“相切”，称直线l为曲线在点A处的切线． 2、导数的几何意义 函数在处的导数，是曲线在点(x0，f(x0))处的切线的斜率． 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多． 与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． 五、求曲线“在”与“过”某点的切线 1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。 2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 题型一 物体的平均速度与瞬时速度 【例1】（2023·辽宁阜新·高二校考期末）若函数，则函数从到的平均变化率为（ ） A．6 B．3 C．2 D．1 【变式1-1】（2023·北京海淀·高二统考期末）下列四个函数中，在区间上的平均变化率最大的为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·高二课时练习）函数y＝x2在区间[x0，x0＋Δx]的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]的平均变化率为k2，则（ ） A．k1>k2 B．k1<k2 C．k1＝k2 D．不确定 【变式1-3】（2023·四川成都·高二校考阶段练习）在曲线 的图象上取一点及邻近一点， 则为（ ） A． B．2 C． D． 题型二 函数的平均变化率与瞬时变化率 【例2】（2023·重庆·高二校联考阶段练习）某物体沿直线运动，其位移（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则在这段时间内，该物体位移的平均速度为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·江西九江·高二校联考期中）某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程与时间的函数图象如图.记该车在时间段，，，上的平均速度的大小分别为，，，，则平均速度最小的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·高二课时练习）质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2 s时的瞬时速度是（ ） A．2 m/s B．6 m/s C．4 m/s D．11 m/s 【变式2-3】（2023·宁夏银川·高二育才中学校考阶段练习）在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度单位：）是，则运动员在