数列专题：利用递推关系求通项公式（8大题型）-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第二册）

利用递推关系求通项公式 一、利用与的关系求通项公式 1、利用求通项时，要注意检验时的情况。 已知求的三个步骤： （1）先利用求出. （2）用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式． （3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式， 如果符合，则可以把数列的通项公式合写； 如果不符合，则应该分与两段来写． 2、已知数列的前n项和的相关条件求数列通项公式的基本思路是两个： （1） 将和转化为项,即利用将和转化为项. （2）可将条件看作是数列的递推公式，先求出，然后题目即转化为已知数列的前n项和，求数列通项公式． 二、累加法求通项 1、适用于：…………这是广义的等差数列 2、若 则；……，， 两边分别相加得： 三、累乘法求通项 1、适用于：…………这是广义的等比数列 2、若， 则，，……，，， 两边分别相乘得： 四、构造法求通项 对于不满足，，形式的数列常采用构造法，对所给的递推公式进行变形构造等差数列或等比数列进行求解，常用方法如下： 1、形如型 ①若时，数列为等差数列； ②若时，数列为等比数列； ③若，时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求。 （1）待定系数法：设，得， 与题设比较系数得：，所以 所以有： 因此数列构成以为首项，以为公比的等比数列。 （2）逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系中把换成 有，两式相减有：，从而化为公比为的等比数列，进而求得通项公式， 再利用累加法即可求得通项公式。我们可以看到此方法比较复杂。 2、形如：（其中是常数，且） ①若时，即：累加即可。 ②若时，即：求通项方法有以下三种方法： （1）两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列，即：， 令，则，然后累加法求通项。 （2）两边除以.目的是把所求数列构造成等比数列，即：， 令，则可化为，然后待定系数法求通项即可。 （3）待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列 设，通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项。 注意：应用待定系数法时，要求，否则待定系数法会失效。 3、形如（其中，是常数，且） （1）逐项相减法（阶差法） （2）待定系数法 通过配凑可转化为 解题基本步骤： ①确定 ②设等比数列，公比为 ③列出关系式，即 ④比较系数求， ⑤解得数列的通项公式，并得出数列的通项公式。 五、不动点法求通项 1、定义：方程的根称为函数的不动点． 利用函数的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种求数列通项的方法称为不动点法． 2、在数列中，已知，且时，（是常数）， （1）当时，数列为等差数列； （2）当时，数列为常数数列； （3）当时，数列为等比数列； （4）当时，称是数列的一阶特征方程，其根叫做特征方程的特征根，这时数列的通项公式为：； 3、形如，，（是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为（*）． （1）若方程（*）有二异根、，则可令（、是待定常数）； （2）若方程（*）有二重根，则可令（、是待定常数）． (其中、可利用，求得) 4、设，满足递推关系，初值条件． 令 ，即 ，令此方程的两个根为， (1)若,则有 （其中） (2)若,则有 （其中） 5、设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时, 题型一 由Sn与an关系求通项 【例1】（2023·高二课时练习）设为数列的前项和，，求. 【变式1-1】（2023·宁夏·高二石嘴山市第三中学校考阶段练习）已知数列满足 设数列的前n项和为， 则 ． 【变式1-2】（2023·湖北·高二校考期中）数列的前项和为，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知各项均为正数的数列的前项和为，若，则（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 题型二 累加法求通项 【例2】（2023·云南红河·统考一模）已知数列满足：，则（ ） A．21 B．23 C．25 D．27 【变式2-1】（2023·福建·高二统考期中）若数列满足，，则（ ） A．511 B．1023 C．1025 D．2047 【变式2-2】（2023·北京·高二昌平区第二中学校考期中）已知数列满足，则=（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知正项数列 中，，则（ ） A． B． C． D． 题型三 累乘法求通项 【例3】（2023·河