6.2 立方根-2023-2024学年七年级数学下学期同步学案（人教版）

6.2 立方根 【学习目标】 1.了解立方根和开立方的概念和表示，能够进行开立方运算。 2.了解立方根的性质，并能利用立方根的性质进行开立方运算。 【阅读教材P49-P51页，完成下列填空】 一般地，如果一个数的 等于a，那么这个数叫做a的 或 。这就是说，如果x²=a，那么x叫做a的 。 求一个数的立方根的运算，叫做 。正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也 。我们可以根据这种关系求一个数的 。 类似于平方根，一个数a的立方根，用符号“ ”表示，读作“三次根号a”，其中a是 ，3是 ，例如，8表示8的立方根，=2；表示-8的立方根，。中的根指数3不能 。 实际上，很多有理数的立方根是 小数。例如，等都是无限不循环小数。我们可以用有理数近似地表示它们。 正数的立方根是 ，负数的立方根是 ，0的立方根是 。 考点一：立方根的概念 例1．已知的平方根是的立方根是是最小的正整数，求的值． 【变式演练】 下列说法中，正确的是（    ） A．负数没有立方根 B．立方根等于本身的数只有 C．既有平方根，也有立方根 D．平方根等于本身的数有， 考点二：求一个数的立方根 例2．已知，的立方根 . 【变式演练】 正数x的两个平方根分别为3和． (1)求a的值； (2)求的立方根． 考点三：已知一个数的立方根，求这个数 例3．已知一个数的平方根分别为和，的立方根为2． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【变式演练】 已知的两个平方根分别是和，且，求的立方根． 考点四：立方根的实际应用 例4．如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为（    ） A．3 B． C． D． 【变式演练】 已知一个正方体的体积是1000，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积488，则截去的每小正方体的棱长是 cm． 考点五：算术平方根和立方根的综合应用 例5．已知立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分．求的平方根． 【变式演练】 已知的平方根是，的算术平方根是4，求的值． 【探究一】观察下列计算过程，猜想立方根． ，，，，，，，，； (1)小明是这样试求出的立方根的．先估计的立方根的个位数，猜想它的个位数为______，又由；猜想的立方根的十位数为_______，可得的立方根； (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①______，②______． 【探究二】据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，可以确定是______位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是______，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定、59319的十位上的数字是______； (2)已知32768，都是整数的立方，按照上述方法，请你分别求它们的立方根． 一、单选题 1．下列说法：①是的立方根；②没有最小的有理数；③相反数是本身的数是；④的平方根是；⑤倒数是本身的数是．其中正确的有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．已知与互为相反数，则与的积的立方根为（    ） A．4 B． C．8 D． 3．下列四个说法中正确的是（    ） A．一个数的平方等于1，那么这个数就是1 B．3是的算术平方根 C．平方根等于它本身的数只有0和1 D．的立方根是 4．下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以±3叫81的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（　　） A．负数a没有偶数次方根 B．任何实数a都有奇数次方根 C． D． 二、填空题 7．的平方根是 ； ． 8．已知x满足，则 ． 9．已知：与互为相反数（其中），则 ． 10．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的