5.4.1正弦函数、余弦函数的图象导学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教A版（2019）高一数学必修第一册课时同步学案 5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象 【知识梳理】 【知识点一】正弦函数的图象 1．正弦曲线 正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫正弦曲线． 2．正弦函数图象的画法 (1)几何法： ①利用正弦线画出y＝sinx，x∈【0,2π]的图象； ②将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)． (2)“五点法”： ①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接； ②将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)． 【知识点二】余弦函数的图象 1．余弦曲线 余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫余弦曲线． 2．余弦函数图象的画法 (1)要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移个单位长度即可，这是由于cosx＝sin. (2)用“五点法”：画余弦函数y＝cosx在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接． 【例题探究】 【类型一】用“五点法”作三角函数的图象 【例1】用“五点法”作出下列函数的图象： (1)y＝sinx－1，x∈[0,2π]； (2)y＝1－cosx，x∈[－2π，2π]． 【方法归纳】 用“五点法”画函数y＝Asinx＋b(A≠0)(或y＝Acosx＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤： (1)列表： x 0 π 2π sinx(或cosx) 0(或1) 1(或0) 0(或－1) －1(或0) 0(或1) y y1 y2 y3 y4 y5 (2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，，(π，y3)，，(2π，y5)． (3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来． 【变式训练1】用“五点法”作出函数y＝1＋2sinx，x∈[0,2π]的图象． 【类型二】利用“图象变换”作三角函数的图象 【例2】画出下列函数的图象． (1)y＝；(2)y＝sin|x|. 【方法归纳】 某些函数的图象可通过图象变换，如平移变换、对称变换作出，如将y＝sinx的图象在y轴右侧的保留，在左侧作右侧关于y轴的对称图形，便得到y＝sin|x|的图象，将y＝sinx图象在x轴上方的不动，x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，便得到y＝|sinx|的图象等. 【变式训练2】利用图象变换法作出下列函数的图象： (1)y＝1－cosx，x∈[0,2π]； (2)y＝，x∈[0,4π]． 【类型三】正、余弦函数图象的应用 【例3】利用正弦曲线，求满足<sinx≤的x的集合． 【方法归纳】 用正弦曲线余弦曲线解三角不等式如sinx≥a或cosx≥a的步骤 1作图象：作基本函数y＝sinx或y＝cosx的图象. 2作直线：作直线y＝a. 3取值：求满足sinx＝a或cosx＝a的角x的值一般一个周期内有两个值，尽量靠近原点. 4取解集：先取图中阴影部分的一个周期的特殊解集，然后在两边同时加上周期的整数倍即可. 注：解sinωx＋φ≥aω>0时，只需先求出不等式sinx≥a的解集，然后用ωx＋φ代替解中的“x”，再解关于x的不等式即可. 【变式训练3】求函数y＝的定义域． 【变式训练4】作函数y＝·sinx的图象． 【错解】y＝·sinx＝·sinx＝cosx. 故其图象如图所示． 【错解分析】上述解法错在将函数式化简后漏掉了对自变量范围的讨论，扩大了定义域，使化简前后不等价． 【课堂练习】 1．对于正弦函数y＝sinx的图象，下列说法错误的是(　 　) A．向左右无限伸展 B．与y＝cosx的图象形状相同，只是位置不同 C．与x轴有无数个交点 D．关于y轴对称 2．函数y＝－sinx的大致图象是(　 　) 3．不等式cosx<0，x∈[0,2π]的解集为(　 　) A.　　　　　　　 B. C. D. 4．要使cosx＝有意义，则m的取值范围为________________________. 5．在[0,2π]内用五点法作出y＝－sinx－1的简图． 【课堂小结】 1．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一． 2．图象的平移与对称也是作三角函数图象的常用方法． 3．正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础． 【答案解析】 【例1】用“五点法”作出下列函数的图象： (1)y＝sinx－1，x∈[0,2π]； (2)y＝1－cosx，x∈[－2π，2π]． 【解】(1)列表： x 0 π 2π sinx 0 1 0 －1 0 sinx－1 －1 0