4.2 二次函数（讲+练）-【中职专用】初升高数学无忧衔接（通用版）

第四章 函数 4.2二次函数 课程要求 初中要求 理解二次函数的概念，掌握二次函数的三种解析式，理解二次函数的图像和性质，会求二次函数的解析式，会求二次函数的最值，顶点坐标，对称轴. 高中要求 会求二次函数的最值，顶点坐标，对称轴， 会利用二次函数图象求二次不等式. 知识回顾 一、二次函数有关概念 （1）定义：一般的，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数，自变量x的取值范围为全体实数. （2）、bx、c分别称作二次函数的二次项、一次项和常数项，、b分别称为二次项系数和一次项系数. 二、二次函数的解析式 （1）三类解析式 一般式：（a、b、c是常数，）； 顶点式：（），二次函数的顶点坐标是（h，k）； 交点式：（），其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ． （2）待定系数法求解析式 ①巧设二次函数的解析式（给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）； ②根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）； ③解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式. 三、 二次函数的图象与性质 开口 方向 a>0时，开口向上；a<0时，开口向下. 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 与 最值 （0，0） （0，k） （h，0） （h，k） a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0（或k或）； a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0（或k或）. 增 减 性 a>0 x<0（h或）时，y随x的增大而减小；x>0（h或）时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0（h或）时，y随x的增大而增大；x>0（h或）时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 对称性 1.图象是轴对称图形； 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上； 3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等. 四、二次函数的图象与各项系数之间的关系 （1）的正负决定开口方向： ，抛物线开口向上；，抛物线开口向下. 的大小决定开口的大小： 越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大. （2）、b的符号共同决定对称轴的位置 当时，，对称轴为y轴； 当a、b同号时，，对称轴在y轴左边； 当a、b异号时，，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”） （3）c决定抛物线与轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. 五、二次函数与一元二次方程 二次函数（）的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根. （1）当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点； （2）当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点； （3）当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点. 经典例题 【题型1】二次函数概念 例1、下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 例2、若是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第 象限． 【变式探究】下列函数中， 属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】求二次函数的解析式 例1、已知二次函数的图象过点,,,求此二次函数的解析式. 例2、二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下： x … 0 1 2 … y … … 则该函数图象的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式探究】1、已知抛物线的顶点坐标为，则该抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 2、 如图，抛物线与轴的交点为两点，则该抛物线的对称轴及顶点坐标为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【题型3】二次函数的性质 例1、抛物线 的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 例2、求下列函数的最大值或最小值: （1）; （2）. 例3、已知函数,求满足下列条件时,函数的最大值和最小值: （1）; （2）; （3）. 例4、已知二次函数，若随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1、抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 2、将二次函数化成的形式为（     ） A． B． C． D． 3．关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．顶点坐标是 B．对称轴是直线 C．抛物线有最高点 D．抛物线与x轴有两个交点 4. 二次函数的图像在x 时y随x的增大而减小．