考点14 数列模型的综合应用（讲）-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（浙江专用）

考点14 数列模型的综合应用 【考纲要求】 能在具体的问题情境中识别数列的等差、等比关系，会运用数列知识建立模型解决有关问题 【考向预测】 1、对于数列求和，除了常用数列的求和公式外，还有几种常用的求和方法，如分组求和、裂项相消求和、错位相减求和等方法． 2、解答应用题，应充分运用观察、归纳、猜想的方法，建立数列模型，再结合函数、不等式的相关知识解题．常见数列模型如下： (1)等差数列模型：增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差数列模型： (2)等比数列模型：增加(或减少)的量是一个固定的百分数时，该模型是等比数列模型：×100%＝q. (3)混合模型：同时涉及等差数列和等比数列． (4)生长模型：每期以固定的百分数增加或减少的模型． 【本节内容结构】 【知识清单】 1．数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式： . (2)等比数列的通项公式： 2．数列的前n项和公式 (1)等差数列的前n项和公式： . (2)等比数列的前n项和公式： ； . (3)推导等比数列前n项和方法：错位相减法． 在等比数列{}中，首项为，公比为q，则等比数列的前n项和＝＋＋···＋， 当q≠1时，根据等比数列的通项公式， ＝＋＋＋···＋，① 将①式两边同时乘以公比q，得＝＋＋＋···＋，② ①－②得(1－q)＝－， 当q≠1时，＝.将代入可得＝. (上述推导等比数列的前n项和公式的方法叫作错位相减法) 当q＝1时，＝. (4)特殊数列求前n项和方法： ①形如数列{·}，其中数列{}是等差数列，数列{}是等比数列，采用错位相减法求和． ②形如数列{±}，采用分组法求和． ③形如数列，采用裂项法求和． 3．数列的综合应用 (1)数列之间的应用：一般是等差数列的应用、等比数列的应用、等差与等比数列的综合应用． (2)数列与其他知识的应用：主要涉及数列与不等式、二次函数的综合应用． (3)数列应用题的常见模型 ①等差数列模型：当增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差． ②等比数列模型：当后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比数列模型，这个固定的数是公比． (4)常见的实际应用问题：人口增长、产量的增加(减少)、成本提高(降低)、存贷款利息的计算等． (5)解答数列的实际应用题时的基本步骤 ①审题——仔细阅读材料，认真理解题意．明确属于哪类应用题，是等差数列或等比数列还是递推关系的模型；是求还是求等． ②建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征． ③求解——求出该问题的数学解． ④检验——将所求结果还原到实际问题中． 【考点分类剖析】 考点一分组求和法和裂项相消法 【例1】【例1】求下列各数列的前n项和． (1)； (2) 【举一反三1】 (1)设f(x)＝＋x，则数列(n∈N*)的前10项和为 . (2)已知f(x)为一次函数，且f(2)，f(5)，f(4)成等比数列，f(8)＝15，求＝f(1)＋f(2)＋···＋f(n)的表达式． 【举一反三2】 在公差不为0的等差数列{}中，已知＝4，且，，成等比数列． (1)求数列{}的通项公式； (2)若＝＋，求数列{}的前n项和. 考点二错位相减法 【例2】已知各项均为正数的数列{}的前n项和为，且2，，成等差数列． (1)求数列{}的通项公式； (2)若＝，为数列的前n项和，求． 【举一反三3】已知数列{}的前n项和＝. (1)求{}的通项公式； (2)令＝，求数列{}的前n项和. 考点三数列综合应用 【例3】如图所示，用火柴棒摆成下列图案，依此规律，回答下列问题： (1)摆第n个图案需要多少根火柴棒？ (2)摆第1到10个图案共需要多少根火柴棒？ 【举一反三4】如图所示，用火柴棒摆成下列图案，依此规律，问：摆第10个图案需要多少根火柴棒？　　　 【例4】用分期付款的方式购买一批总价为2 300万元的设备．购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息．设月利率为1%，问：分期付款的第10个月应付多少万元？全部款项付清后，买这一批设备实际支付了多少万元？ 　 【举一反三5】某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入．假设某员工自2012年以来一直在该单位供职，每年度都考核合格，且同一年内月工资收入相同，2012年的月工资收入为5 000元．求自2013 年至2023年该员工的工资总收入． (精确到元，