5.1.1 变化率问题第二课时 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.1　变化率问题 第二课时 复习引入 1.高台跳水运动员的速度 (1)平均速度 时间段[t0,t0+△t]内的平均速度 (2)瞬时速度 当t=t0时的瞬时速度 平均速度的极限为瞬时速度 h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11 2.什么叫直线与圆相切？ 如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切. 追问:如果一条直线与一条抛物线只有一个公共点， 那么这条直线与这条抛物线相切吗？ . F 思考：对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？ 下面以抛物线f(x)=x2为例进行研究. 3 新知探究 探究：你认为应该如何定义抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线？ 问题2 抛物线的切线的斜率 与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线，我们通常在点P0(1, 1)的附近任取一点P(x, x2)，考察抛物线f(x)=x2的割线P0P的变化情况. x y O f(x)＝x2 1 1 2 2 3 4 P0 我们发现，当点P________________，割线P0P ____________________位置. 这个确定位置的直线P0T 称为抛物线 f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线． 观察 如图，当点P(x, x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1, 1)时，割线P0P有什么变化趋势? T 无限趋近于一个确定的 无限趋近于点P0时 探究：我们知道斜率是确定直线的一个要素。如何求抛物线 f(x)=x2在点 P0(1,1) 处的切线P0T 的斜率k0呢？ 从上述切线的定义可见，抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有内在联系． 记点P的横坐标 x=1+Δx，则点P的坐标即为 (1+Δx,(1+Δx)2). 于是割线P0P 的斜率 我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔|∆x|来提高近似表示的精确度，得到如下表格： Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0. 我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔|∆x|来提高近似表示的精确度，得到如下表格： ∆x <0 ∆x >0 ∆x ∆x 观察：利用计算工具计算更多割线P0P的斜率k的值，当∆x无限趋近于0时，割线P0P的斜率k有什么变化趋势？ 发现：当∆x无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k近都无限趋近于2. 从几何图形上看，当横坐标间隔| Δx |无限变小时， 点P无限趋近于点P0，于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T . 这时，割线P0P的斜率k 无限趋近于点P0处的切线的斜率k0. 因此，切线P0T 的斜率k0=2. x y O 1 2 1 2 3 4 P P0 T 事实上，由 可以发现，当∆x在无限趋近于0时， 无限趋近于2，我们把2叫做“当△x无限趋近于0时， 的极限”，记为 1. 你认为应该怎样定义抛物线f(x)=x2在点(x0, x02)处的切线? 试求抛物线f(x)=x2在点(－1, 1)处切线的斜率. 想一想，动一动 9 思考 观察问题1中的函数h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11的图象，平均速度 的几何意义是什么? 瞬时速度v(1)呢? t h 1 O • (1, h(1)) • (1+∆t, h(1+∆t)) 10 典型例题 例2.求抛物线f(x)＝x2－2x＋3在点(1,2)处的切线方程． 典型例题 求抛物线y＝f(x)在某点处的切线斜率，可先表示出在此点附近通过该点的割线的斜率，再求此斜率的极限即可． 求抛物线在某点处的切线方程的步骤： 感悟提升 　1.求抛物线y＝－x2＋3x在x＝2处的切线斜率． 巩固练习 2.求抛物线f(x)＝3x2－4x－1在点(2,3)处的切线方程． 巩固练习 课堂小结 回顾本节课的学习内容，回答下列问题: 1.割线的斜率与切线的斜率有什么关系？ 2.你能总结一下求切线斜率的过程方法吗？ 无限逼近 17 例1.已知函数y＝f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋x，0≤x<2，