5.1.1 变化率问题第一课时 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及应用 十七、十八世纪的数学家常把自己的数学活动跟各种不同领域，如物理、化学、力学、技术等的研究活动联系起来，并由实际需要提出了许多数学问题。科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰．其中，牛顿和莱布尼茨在前人探索的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑． 牛 顿 莱 布 尼 茨 莱布尼茨（1646年7月1日－1716年11月14日），德国哲学家、数学家，是历史上少见的通才，被誉为十七世纪的亚里士多德。 牛顿（1643年1月4日—1727年3月31日），爵士，英国皇家学会会长，英国著名的物理学家、数学家，百科全书式的“全才”，著有《自然哲学的数学原理》、《光学》。 情景引入 微积分的创立与处理四类科学问题直接相关: 一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程； 二是求曲线的切线； 三是求函数的最大值与最小值； 四是求长度、面积、体积和重心等. 导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本方法，因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具． 在本章，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想．通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义． 3 “已知物体运动的路程关于时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度等”和“求曲线的切线”问题是导数产生过程中比较经典的两个问题，今天这节课就让我们追随这些伟大数学家的脚步，也从物体的速度开始研究. 我们之前学习过函数的单调性，知道不同类型函数的增或减的快慢也不同．能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？我们以高台跳水运动员的速度为例来研究. §5.1　导数的概念及其意义5.1.1　变化率问题 第一课时 5 探究新知 问题1 高台跳水运动员的速度 全红婵，2007年3月28日出生于广东湛江，中国国家跳水队女运动员. 2022年6月，全红婵在2022年布达佩斯世界游泳锦标赛中勇夺跳水3米板/10米台混合全能金牌、女子单人十米跳台银牌、女子双人十米跳台金牌 [70]，实现了奥运会、世锦赛和世界杯的金牌大满贯。 在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系： h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ 问题1 高台跳水运动员的速度 　　直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快． 思考1：运动的快慢程度用哪个物理量来描述？ 我们可以把整个运动时间段分成许多小段, 用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态. 速度 7 追问1：怎么求平均速度呢？ 平均速度=位移的变化÷通过这段位移所用的时间， 思考2：你能计算以下时间段的平均速度，并描述运动员的运动状况吗？ 0≤t≤0.5；1≤t≤2. h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11 在0≤t≤0.5时间段运动员是上升阶段，在1≤t≤2时间段运动员是下降阶段． 追问2：通过以上计算，你能求运动员起跳后t1秒到t2秒这段时间的平均速度吗？ h t o 思考3 ：计算运动员在 这段时间里的平均速度，发现了什么？用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 我们发现，运动员在 这段时间里的平均速度为0． 显然，除了在最高点的一瞬间外，运动员并不处于静止状态. 因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态. 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念．我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度（instantaneous velocity）． 探究 瞬时速度与平均速度有什么关系? 你能利用这种关系求运动员在t=1 s时的瞬时速度吗? 设运动员在t0时刻附近某一时间段内的平均速度是 ，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么 将越来越趋近于运动员在时刻t0的瞬时速度． 为了求运动员在t=1时的瞬时速度，我们在t=1之后或之前，任意取一个时刻1+ Δt ， Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0