专题20弧长与扇形面积与进球线路与最佳射门角（3个知识点9种题型2个易错点）【倍速学习法】2023-2024学年九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

专题20弧长与扇形面积与进球线路与最佳射门角（3个知识点9种题型2个易错点） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.弧长公式（重点） 知识点2.扇形的面积公式（重点） 知识点3.圆柱、圆锥的侧面展开图 【方法二】 实例探索法 题型1.弧长公式的应用 题型2.求扇形的面积 题型3.圆锥侧面展开图中有关的计算 题型4.求弓形的面积 题型5.圆锥侧面积与全面积的应用 题型6.进球线路与最佳射门角问题 题型7.求不规则图形的面积 题型8.求圆锥表面上两点间的最短距离 题型9.动态问题 【方法三】差异对比法 易错点1.混淆圆锥底面圆的半径与侧面展开图（扇形）的半径 易错点2.对弧长公式及扇形面积公式中n的意义理解不充分而导致错误 【方法四】 成果评定法 【学习目标】 1. 掌握弧长的计算公式，会利用弧长的计算公式计算简单的组合图形的周长。 2. 掌握扇形的面积公式，能灵活运用圆、扇形的面积公式进行相关计算。 3. 了解圆锥的有关概念和基本特征，会计算圆锥的侧面积和全面积，并能利用圆锥的侧面展开图解决圆锥侧面上的有关问题。 4. 通过数学建模，运用圆的知识解决进球线路与最佳射门角的问题。 【知识导图】 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.弧长公式（重点） 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公示为. 【例1】（2023·四川德阳·九年级四川省德阳中学校校考期中）如图，已知一个半圆形工件，搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，半圆的直径为，则圆心所经过的路线长是（    ）． A． B． C． D． 【变式】（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，将扇形围成一个圆锥，若扇形半径为18，，则圆锥的底面半径为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 知识点2.扇形的面积公式（重点） 1. 扇形的定义：我们把两条半径与所夹弧围成的图形叫做扇形 2.扇形的面积公式 【例2】（2023·四川德阳·九年级四川省德阳中学校校考期中）如图，为的直径，C为上的中点，，垂足为的延长线交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【变式】（2023·江苏宿迁·九年级统考期中）完成下列问题： (1)如图甲，扇形的半径为1，以为圆心的弧平分扇形的面积，求的长： (2)如图乙，在扇形中，以为圆心作弧（点在上，点在上），使弧平分扇形的面积．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 知识点3.圆柱、圆锥的侧面展开图 圆柱 圆锥 【例3】（2023·山西吕梁·九年级校联考阶段练习）如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（    ）    A． B． C． D． 【变式】（2023·浙江·一模）某圆柱体的实物图和它的主视图如图所示．若，则该圆柱体的侧面积等于 ．    【方法二】实例探索法 题型1.弧长公式的应用 1.（2023·贵州黔东南·九年级校考期中）如图所示，有一边长为的等边三角形木块，点P是的延长线上的点，为，其中，，的圆心依次为A，B，C，则曲线的长是（　　）    A． B． C． D． 题型2.求扇形的面积 2．（2023·重庆潼南·九年级校联考期中）在矩形中，，，以为圆心，为半径画弧交线段于，连接，则阴影部分的面积为    题型3.圆锥侧面展开图中有关的计算 3．（2023·广西南宁·九年级南宁二中校考阶段练习）如图，小红要制作一个母线长为7cm，底面圆半径是6cm的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则所需纸板的面积是（    ）    A． B． C． D． 题型4.求弓形的面积 4．（2023·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，是的内接三角形，是的直径，是的弦，且，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 题型5.圆锥侧面积与全面积的应用 5．一圆锥的侧面展开图的圆心角为120°，该圆锥的侧面积与全面积之比值为（     ） A． B． C． D． 题型6.进球线路与最佳射门角问题 6．（2023·广西北海·统考二模）综合与实践【数学理解】德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图2，已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大．人们称这一命题为米勒定理．    (1)【问题提出】如图1，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙已跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证：． (2)【问题解决】如图