2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 学习目标 1.理解一元二次方程的定义,并会求一元二次方程的解集.掌握一元二次方程的根的判别式,并会用其判断根的个数.通过求一元二次方程的解集,提升学生的数学运算素养.通过对一元二次方程的解集及其根与系数的关系的学习,培养数学抽象、逻辑推理的核心素养. 2.掌握一元二次方程的根与系数的关系,并会用其求一些关于方程两根的代数式的值. 1.一元二次方程 形如ax2+bx+c=0的方程为一元二次方程,其中a,b,c是常数,且a≠0. 思考1:方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数)一定是一元二次方程吗? 答案:不一定,当a≠0时,为一元二次方程,当a=0,b≠0时,为一元一次方程. 2.判别式Δ Δ=b2-4ac的符号情况决定了方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集情况: (1)当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根x1,2=,方程的解集为{,}. (2)当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=-,方程的解集为{-}. (3)当Δ=b2-4ac<0时,方程没有实数根,方程的解集为. 一般地,Δ=b2-4ac称为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式.由此可知,一元二次方程解集的情况完全由它的系数决定. 思考2:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式x=适合用于所有的一元二次方程吗? 答案:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式只适合于方程有根时使用,即当根的判别式Δ=b2-4ac≥0时适用. 3.根与系数的关系 当Δ=b2-4ac≥0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根x1=,x2=,则有 思考3:利用一元二次方程根与系数的关系解题时,需要注意什么条件? 答案:先把方程化为ax2+bx+c=0的形式,然后验证是否满足a≠0,Δ=b2-4ac≥0这两个条件,同时满足这两个条件才能用根与系数的关系解题. 若x1和x2分别是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个不同的实数根,则|x1-x2|=(其中Δ=b2-4ac).在求一元二次方程的两根之差的绝对值时,可以直接利用上面的结论. 　判断一元二次方程根的个数与解方程 [例1] 判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数),如果方程有实数根,写出方程的实数根. (1)x2-3x+3=0; (2)x2-ax-1=0; (3)x2-ax+(a-1)=0. 解:(1)因为Δ=32-4×1×3=-3<0,所以方程没有实数根. (2)该方程的根的判别式Δ=a2-4×1×(-1)=a2+4>0,所以方程一定有两个不等的实数根, x1=,x2=. (3)该方程的根的判别式Δ=a2-4×1×(a-1)=a2-4a+4=(a-2)2, ①当a=2时,Δ=0,此时方程有两个相等的实数根x1=x2=1; ②当a≠2时,Δ>0,此时方程有两个不相等的实数根x1=1,x2=a-1. 当一元二次方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化时,需要对a的取值情况进行讨论,这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法,在今后的解题中会经常运用这一方法来解决问题. 针对训练:不解方程,判断下列方程的实数根的个数: (1)2x2-3x+1=0; (2)4y2+9=12y; (3)5(x2+3)-6x=0. 解:(1)因为Δ=(-3)2-4×2×1=1>0,所以原方程有两个不相等的实数根. (2)原方程可化为4y2-12y+9=0, 因为Δ=(-12)2-4×4×9=0, 所以原方程有两个相等的实数根. (3)原方程可化为5x2-6x+15=0, 因为Δ=(-6)2-4×5×15=-264<0,所以原方程没有实数根. [备用例1] 下列一元二次方程中,解集为空集的是(　　) A.x2-2x=0 B.x2+4x-1=0 C.2x2-4x+3=0 D.3x2=5x-2 解析:利用根的判别式Δ=b2-4ac分别进行判定即可.A项,Δ=(-2)2-4×1×0=4>0,有两个不相等的实数根,故A选项不合题意;B项,Δ=42-4×1×(-1)=20>0,有两个不相等的实数根,故B选项不合题意;C项,Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0,没有实数根,故C选项符合题意;D项,Δ=(-5)2-4×3×2=1>0,有两个不相等的实数根,故D选项不合题意.故选C. 　根据根的情况求参数 [例2] 关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0. (1)求证:方程总有两个实数根; (2)若方程有一个根小于1,求k的取值范围. (1)证明:依题意,得 Δ=[-(k+3)]2-4(2k+2)=(k-1)2, 因为(k-1)2≥0, 所以方程总有两个实数根. (2)解:由求