6.2.1 向量基本定理-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第二册同步全程学习课时作业word（新教材，人教B版）

6.2　向量基本定理与向量的坐标 6.2.1　向量基本定理 选题明细表 知识点、方法 题号 共线向量基本定理 10,11 基底的应用 1,2,5,6 平面向量基本定理 3,4,7,8,9,12 基础巩固 1.(多选题)设点O是▱ABCD两对角线的交点,下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是(　AC　) A.与 B.与 C.与 D.与 解析:寻找不共线的向量组即可,在▱ABCD中,与不共线,与不共线,而∥,∥,所以选项A,C可作为基底.故选AC. 2.如图所示,在矩形ABCD中,若=5e1,=3e2,则等于(　A　) A.(5e1+3e2) B.(5e1-3e2) C.(3e2-5e1) D.(5e2+3e1) 解析:=(+)=(-5e1-3e2), 所以=(5e1+3e2).故选A. 3.(2021·天津月考)在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2, =+λ,则实数λ等于(　A　) A. B. C.- D.- 解析:法一　在△ABC中,已知D是AB边上一点,因为=2, =+λ,所以=+=+=+(-)=+,所以λ=.故选A. 法二　由题意知,A,B,D三点共线,所以+λ=1,所以λ=.故选A. 4.(多选题)在△ABC中,点E,F分别是边BC和AC上的中点,P是AE与BF的交点,则有(　AC　) A.=+ B.=2 C.=+ D.=+ 解析:如图,=+=+=+(-)=(+),A正确; 因为EF是中位线,所以=2,所以B错误; 连接CP并延长,交AB于点G,根据三角形重心性质知,CP = 2PG,所以==×(+)=(+),所以C正确,D错误.故选AC. 5.向量a在基底{e1,e2}下可以表示为a=2e1+3e2,若a在基底{e1+e2,e1-e2}下可表示为a=λ(e1+e2)+μ(e1-e2),则λ=　　　 ,μ= 　　　　.  解析:因为a=λ(e1+e2)+μ(e1-e2)=(λ+μ)e1+(λ-μ)e2=2e1+3e2, 所以 所以λ=,μ=-. 答案:　- 6.如图,在平面内有三个向量,,,||=||=1,与的夹角为120°,与的夹角为30°,||=5,设=m+n (m,n∈R), 则m+n=　　　　.  解析:作以OC为一条对角线的平行四边形OPCQ. 则∠COQ=∠OCP=90°, 在Rt△QOC中,2OQ=QC,||=5, 则||=5,||=10, 所以||=10,又||=||=1, 所以=10,=5, 所以=+=10+5, 所以m+n=10+5=15. 答案:15 能力提升 7.(多选题)过△ABC的重心任作一直线分别交边AB,AC于点D,E.若=x,=y,xy>0,则4x+y的值可以为(　AB　) A.4 B.3 C.2 D.1 解析:设△ABC的重心为M,由题意可知D,E,M三点共线, 所以存在λ∈R使得=λ+(1-λ). 因为=x,=y,且=+, 所以消去入得+=1, 所以4x+y=(4x+y)(+)=+++≥+2=3(当且仅当y=2x=1时,等号成立).故选AB. 8.(2021·湖南邵阳模拟)如图所示,在△ABC中,CE是边AB上的中线,O是CE的中点,若=a,=b,则等于(　B　) A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 解析:由题意可得=,由题图可知,=+=×+ =+,又因为=a,=b,所以=a+b.故选B. 9.(2021·山东莱州一中月考)已知O是△ABC内一点,+=2,且λ=,若B,O,D三点共线,则实数λ的值为　　　　.  解析:设点E为边BC的中点, 则(+)=, 由题意,得=, 所以==(+)=+,因此若B,O,D三点共线,则+=1,即λ=3. 答案:3 10.已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1,e2不共线,向量c=2e1-9e2,则是否存在实数λ,μ,使d=λa+μb与c共线? 解:假设存在λ,μ∈R,使得d与c共线,令d=tc(t为实数), 所以λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=t(2e1-9e2), 所以 所以 所以λ=2t,μ=-t,即λ=-2μ. 所以存在λ,μ,只要满足λ=-2μ,就能使d与c共线. 应用创新 11.(2021·山东临沂高一检测)如图,G是△OAB的重心,P,Q分别是边OA,OB上的动点,且P,G,Q三点共线. (1)设=λ,将用λ,,表示; (2)设=x,=y,证明:+是定值. (1)解:=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ. (2)证明:一方面,由(1),得=(1-λ)+λ=(1-λ)x+λy,① 另一方面,因为G是△OAB的重心, 所以==×(+)=+.② 而,不共线,所以由①②, 得解得 所以+=3(定值). 12.证明:若坐标平面内的三点