5.3.3 古典概型-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第二册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

5.3.3　古典概型 学习目标 1.通过实例,正确理解古典概型的概念,在掌握古典概型的两个特点的基础上,能判断古典概型,培养学生数学建模、数学抽象的核心素养. 2.通过实例,推导和掌握古典概型的概率计算公式,并将其应用于不同类型的古典概型中,提高学生数学建模、数学运算的核心素养. 3.通过图表的方式将样本空间列举出来,进一步感受数形结合思想,培养学生借助直观图形理解数学知识的核心素养. 1.古典概型的定义 一般地,如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性),而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性),则称这样的随机试验为古典概率模型,简称为古典概型. 2.古典概型的特点 (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个,即有限性. (2)每个基本事件发生的可能性相等,即等可能性. 3.古典概型计算公式 如果样本空间含有n个样本点,且每个基本事件发生的可能性大小都相等,因此每个基本事件发生的概率为,若事件C包含有m个样本点,则P(C)=. 思考1:所有的随机试验都能归结为古典概型问题吗? 答案:不能.一个随机试验能否归结为古典概型,在于这个试验是否满足两个特征:有限性和等可能性,因此不是所有随机试验都能归结为古典概型.例如:某人射击中靶与不中靶,由于中靶与不中靶不是等可能的,所以该试验不是古典概型. 思考2:古典概型中的概率的性质具有前面学习的概率的性质吗? 答案:具有.假设古典概型对应的样本空间含有n个样本点,事件A包含m个样本点, (1)由0≤m≤n与P(A)=可知,0≤P(A)≤1; (2)因为中的样本点的个数为n-m,所以P()==1-=1-P(A). 　古典概型的判断 [例1] 袋中有大小相同的5个白球,3个黑球和3个红球,每球有一个区别于其他球的编号,从中摸出1个球. (1)有多少种不同的摸法?如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型,该模型是不是古典概型? (2)若按球的颜色为划分基本事件的依据,有多少个基本事件?以这些基本事件建立概率模型,该模型是不是古典概型? 解:(1)由于共有11个球,且每个球有不同的编号,故共有11种不同的摸法.又因为所有球大小相同,因此每个球被摸中的可能性相等,故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型. (2)由于11个球共有3种颜色,因此共有3个基本事件,分别记为A:“摸到白球”,B:“摸到黑球”,C:“摸到红球”.又因为所有球大小相同,所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为,而白球有5个,故一次摸球摸中白球的可能性为,同理可知摸中黑球、红球的可能性均为,显然这三个基本事件出现的可能性不相等,所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型. (1)判断一个概率模型是否为古典概型,关键是看它是否同时满足两个特征:有限性和等可能性,同时满足这两个特征的概率模型才是古典概型. (2)求古典概型的概率时,一般是先用列举法把试验所包含的基本事件一一列举出来. 针对训练:判断下列试验是否为古典概型. (1)某专业射击运动员射击一次,观察是否中靶; (2)口袋中有2个红球,2个白球,每次从中任取1个球,观察颜色后放回,直到取出红球. 解:(1)这个试验的结果只有两个,即“中靶”与“不中靶”,具备了有限性,但“中靶”与“不中靶”这两个结果出现的可能性一般是不相等的,即不具备等可能性,因此该试验不是古典概型. (2)每次摸出1个球后,仍放回袋中,再摸1个球,这种试验方法属于有放回抽样法,依次摸出的球可以重复,且摸球可无限地进行下去,即所有可能结果有无限个,因此该试验不是古典概型. 　基本事件数的探求 [例2] 做抛掷两枚均匀骰子的试验,用(x,y)表示结果,其中x表示第一枚骰子出现的点数,y表示第二枚骰子出现的点数,写出 (1)试验的基本事件; (2)事件“出现点数之和大于8”; (3)事件“出现点数相等”; (4)事件“出现点数之和大于10”. 解:(1)这个试验的基本事件有 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6). (2)事件“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件,(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5), (6,6). (3)事件“出现点数相等”包含