5.2 数学探究活动 由编号样本估计总数及其模拟-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第二册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

5.2　数学探究活动:由编号样本估计总数及其模拟 学习目标 1.通过对收集的数据分析处理,培养学生数据分析和数学运算的核心素养. 2.在分析、处理数据的过程中,经历建模过程与方法,提升学生对数学建模基本方法和基本活动经验,进而提升逻辑推理能力. 1.活动背景介绍与要求 日常生活中,为了方便管理,人们经常会对人或物进行连续编号(即编号为001,002,003,…). 当对人或物进行连续编号后,知道编号的最大值就能方便地知道总数是多少. 附:由编号样本估计总数活动记录表: 活动开始时间: (1)成员 与分工 姓名 分工 (2)待估计总数的、有连续编号的实例 (3)获取的编号样本 (4)估计总数的方法以及计算过程 (5)采用模拟的方法以及估计结果的验证 (6)活动总结(包括活动感受等) 活动结束时间 2.活动提示 要完成的任务可以简述为:假设已有的编号样本从小到大依次为x1,x2,…,xm,由这些样本怎样去估计总数n. (1)最大值估计:n的值一定不会小于编号中的最大值,所以可以用编号中的最大值作为n的一个估计,即n≈xm. (2)平均值估计:考虑到样本的平均数与总体的平均数应该相差不大,因此可用样本平均数来给出n的一个估计.记=,又因为=,所以有≈,从而可以用大于或等于2-1的最小整数作为n的估计. (1)中位数估计 用样本中位数估计总体中位数的统计思想,可以考虑用随机抽到的数据的中位数近似总体中位数,进而得到n的估计值. 假设已有编号样本从小到大依次为x1,x2,…,xm. ①当m为奇数时,样本的中位数是,而总体的中位数为,根据样本中位数近似总体中位数思想,有≈,从而n≈2-1. ②当m为偶数时,样本的中位数是,而总体的中位数为,此时有≈,从而n≈+-1. (2)用区间长度法估计(供参考) 方向1:样本将n个数据分为几段,端点选取不同,可以得到不同的估计值,把区间[1,n]分为m+1个小区间,(1,x1),(x1,x2),…,(xm,n),如图所示,试求估计值n. 解:这m+1个区间的长度均值为,前m个区间的平均长度为,因为样本是随机抽取的,所以两者应该是相差不大,即≈, 得到估计值n≈+1, 整理得n≈-. 方向2:若将区间按[1,n]进行划分,忽略了x1可能取到1的情形,因此考虑到把区间[1,n]改为[0,n],即把区间[0,n]分为m+1个小区间(0,x1),(x1,x2),…,(xm,n),如图所示,试求估计值n. 解:利用前m个区间的长度的均值近似所有m+1个区间长度的均值, 即≈,得到估计值n≈. 方向3:对于方向2对方向1的改进过程中,只考虑到左侧第一个点x1可能取到1,而没有考虑到右侧最后一个点xm可能取到n.因此对方向2进一步改进.将区间[0,n]改为[0,n+1],估计n时,把(0,x1)看作一个区间,把(xm,n+1)看作一个区间,中间区间分别为(x1,x2),(x2,x3),…,(xm-1,xm).如图所示,试求估计值n. 解:因为前m个区间长度的均值近似所有m+1个区间长度的均值,所以≈, 得到估计值n≈-1. 通过上述的三个方向的探究,我们探讨在不同的区间长度得出相应的估计值n,经过实际验证,方向3得出的结论更加趋于合理.为此,我们得出这样的计算公式:假设在获取的m个样本中,从小到大依次编号为x1,x2,…,xm,则总体估计值为n≈xm(1+)-1. 这里再明确一点,用统计解决实际问题时更加关注哪种统计方法好,而不是对错.在实际问题中,还应从理论和模拟两个角度比较估计方法的好坏.其实方向1和方向2的结论同样可以根据问题实际合理选择应用. 　用编号样本估计总数 [例题] 第二次世界大战期间,A军很想知道某次战役中B军总共制造了多少辆坦克.B国人长于逻辑思维而乏于机变,在给坦克编号时非常刻板,他们把坦克从01开始编号.战争期间,A军缴获了一些B军坦克,并记录下了它们的生产编号05,17,23,45,76,84.请用编号样本估计总数的方法估计B军的坦克总数N. 解:法一(最大值估计)　由题意知样本中生产编号的最大值为84,所以N≈84. 法二(平均值估计)　设样本数据的均值为,则 ≈42,所以N≈2-1≈83. 法三(中位数估计)　由题意可知编号的个数为6,中位数为34,所以N≈23+45-1=67. 法四(区间长度法估计)　由已知得,获得最大样本编号为84, 所以N≈xm(1+)-1=84×(1+)-1=97, 所以N≈97. 针对训练:某池塘养殖着鲤鱼.养殖者第一次从池塘中捕出N条,给每条鱼从001开始编号(不影响其存活),然后放回池塘,待完全混合后,再从池塘中随机地捕出100条鱼,记录下其中标有编号的鱼,立即放回池塘中. (1)若第二次捕获的100条鱼中